https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/1728894358536qnqremv4.jpg

В задаче требуется найти значение параметра \(\theta\) с помощью метода моментов по первым двум наблюдениям \(X_1 = 1\) и \(X_2 = 3\), при этом элементы выборки имеют плотность распределения

\[
f(x) = 2\theta^2 x^{-3}, \quad x \geq \theta, \, \theta > 0.
\]

### 1. Метод моментов (МММ)
Метод моментов основывается на приравнивании теоретического математического ожидания к выборочному среднему. Начнем с нахождения математического ожидания случайной величины \(X\), распределенной с данной плотностью.

#### 2. Вычисление теоретического математического ожидания
Математическое ожидание \(E[X]\) для данной плотности можно найти по формуле:

\[
E[X] = \int_{\theta}^{\infty} x f(x) \, dx.
\]

Подставим плотность \(f(x) = 2\theta^2 x^{-3}\):

\[
E[X] = \int_{\theta}^{\infty} x \cdot 2\theta^2 x^{-3} \, dx = 2\theta^2 \int_{\theta}^{\infty} x^{-2} \, dx.
\]

Интеграл \( \int_{\theta}^{\infty} x^{-2} \, dx \) равен:

\[
\int_{\theta}^{\infty} x^{-2} \, dx = \left[-\frac{1}{x}\right]_{\theta}^{\infty} = \frac{1}{\theta}.
\]

Таким образом,

\[
E[X] = 2\theta^2 \cdot \frac{1}{\theta} = 2\theta.
\]

#### 3. Выборочное среднее
Теперь вычислим выборочное среднее по данным двум наблюдениям \(X_1 = 1\) и \(X_2 = 3\):

\[
\bar{X} = \frac{X_1 + X_2}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2.
\]

#### 4. Приравнивание моментов
Согласно методу моментов, теоретическое математическое ожидание \(E[X] = 2\theta\) должно быть равно выборочному среднему:

\[
2\theta = 2.
\]

Отсюда \(\theta = 1\).

### Ответ:
Значение параметра \(\theta\), найденное методом моментов, равно 1.

---

Есть ли у вас вопросы или хотите узнать детали?

### Связанные вопросы:
1. Что такое метод максимального правдоподобия и как его использовать для оценки \(\theta\)?
2. Каково математическое ожидание и дисперсия для других распределений?
3. Можно ли обобщить решение на выборку большего размера?
4. Какие еще методы оценивания параметров существуют в статистике?
5. Как связаны моменты случайной величины с ее распределением?

### Совет:
При работе с методами оценки параметров всегда проверяйте выполнение условий применимости метода, таких как наличие моментов и их конечность.

Найти значение ОММ-оценки параметра \(\theta\) с помощью первого момента по результатам двух наблюдений: 1 и 3.

This problem involves estimating the parameter \(\theta\) from a probability density function using the method of moments. Learn how to calculate the expected value and match it to the sample mean from two observations, X_1 = 1 and X_2 = 3.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation