В задаче требуется найти значение параметра $\theta$ с помощью метода моментов по первым двум наблюдениям $X_1 = 1$ и $X_2 = 3$, при этом элементы выборки имеют плотность распределения

$f(x) = 2\theta^2 x^{-3}, \quad x \geq \theta, \, \theta > 0.$

1. Метод моментов (МММ)

Метод моментов основывается на приравнивании теоретического математического ожидания к выборочному среднему. Начнем с нахождения математического ожидания случайной величины $X$, распределенной с данной плотностью.

2. Вычисление теоретического математического ожидания

Математическое ожидание $E[X]$ для данной плотности можно найти по формуле:

$E[X] = \int_{\theta}^{\infty} x f(x) \, dx.$

Подставим плотность $f(x) = 2\theta^2 x^{-3}$:

$E[X] = \int_{\theta}^{\infty} x \cdot 2\theta^2 x^{-3} \, dx = 2\theta^2 \int_{\theta}^{\infty} x^{-2} \, dx.$

Интеграл $\int_{\theta}^{\infty} x^{-2} \, dx$ равен:

$\int_{\theta}^{\infty} x^{-2} \, dx = \left[-\frac{1}{x}\right]_{\theta}^{\infty} = \frac{1}{\theta}.$

Таким образом,

$E[X] = 2\theta^2 \cdot \frac{1}{\theta} = 2\theta.$

3. Выборочное среднее

Теперь вычислим выборочное среднее по данным двум наблюдениям $X_1 = 1$ и $X_2 = 3$:

$\bar{X} = \frac{X_1 + X_2}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2.$

4. Приравнивание моментов

Согласно методу моментов, теоретическое математическое ожидание $E[X] = 2\theta$ должно быть равно выборочному среднему:

$2\theta = 2.$

Отсюда $\theta = 1$.

Ответ:

Значение параметра $\theta$, найденное методом моментов, равно 1.

Есть ли у вас вопросы или хотите узнать детали?

Связанные вопросы:

1. Что такое метод максимального правдоподобия и как его использовать для оценки $\theta$?
2. Каково математическое ожидание и дисперсия для других распределений?
3. Можно ли обобщить решение на выборку большего размера?
4. Какие еще методы оценивания параметров существуют в статистике?
5. Как связаны моменты случайной величины с ее распределением?

Совет:

При работе с методами оценки параметров всегда проверяйте выполнение условий применимости метода, таких как наличие моментов и их конечность.