Diberikan fungsi kepadatan probabilitas (PDF) $f(x) = \theta x^{\theta - 1}$, untuk $0 < x < 1$, kita akan menghitung:

1. Ekspektasi (E[X])
2. Ekspektasi kuadrat (E[X²])
3. Variansi (Var[X])

1. Menghitung Ekspektasi $E[X]$

Ekspektasi $E[X]$ dari variabel acak kontinu $X$ dengan fungsi kepadatan probabilitas $f(x)$ didefinisikan sebagai:

$E[X] = \int_{0}^{1} x \cdot f(x) \, dx$

Substitusikan $f(x) = \theta x^{\theta - 1}$:

$E[X] = \int_{0}^{1} x \cdot \theta x^{\theta - 1} \, dx = \theta \int_{0}^{1} x^\theta \, dx$

Menghitung integral:

[ E[X] = \theta \left[ \frac{x^{\theta + 1}}{\theta + 1} \right]_{0}^{1} = \theta \cdot \frac{1}{\theta + 1} ]

Sehingga,

$E[X] = \frac{\theta}{\theta + 1}$

2. Menghitung Ekspektasi $E[X^2]$

Ekspektasi $E[X^2]$ adalah:

$E[X^2] = \int_{0}^{1} x^2 \cdot f(x) \, dx$

Substitusikan $f(x) = \theta x^{\theta - 1}$:

$E[X^2] = \int_{0}^{1} x^2 \cdot \theta x^{\theta - 1} \, dx = \theta \int_{0}^{1} x^{\theta + 1} \, dx$

Menghitung integral:

[ E[X^2] = \theta \left[ \frac{x^{\theta + 2}}{\theta + 2} \right]_{0}^{1} = \theta \cdot \frac{1}{\theta + 2} ]

Sehingga,

$E[X^2] = \frac{\theta}{\theta + 2}$

3. Menghitung Variansi $Var[X]$

Variansi didefinisikan sebagai:

[ Var[X] = E[X^2] - (E[X])^2 ]

Substitusikan hasil-hasil yang telah ditemukan:

$Var[X] = \frac{\theta}{\theta + 2} - \left( \frac{\theta}{\theta + 1} \right)^2$

Menyederhanakan:

$Var[X] = \frac{\theta}{\theta + 2} - \frac{\theta^2}{(\theta + 1)^2}$

Untuk menghitung lebih lanjut, kita perlu menyamakan penyebut:

$Var[X] = \frac{\theta(\theta + 1)^2 - \theta^2 (\theta + 2)}{(\theta + 2)(\theta + 1)^2}$

Setelah menyederhanakan bentuk aljabar, kita mendapatkan hasil akhir untuk variansi $Var[X]$.

---

Itu adalah perhitungan untuk $E[X]$, $E[X^2]$, dan $Var[X]$.

Ada yang ingin ditanyakan atau dijelaskan lebih lanjut? Berikut beberapa pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara integral fungsi yang lebih rumit untuk distribusi yang berbeda?
2. Apa perbedaan utama antara distribusi kontinu dan diskrit dalam konteks variansi?
3. Mengapa variansi melibatkan kuadrat dari ekspektasi?
4. Bagaimana menghitung $E[X^3]$ untuk distribusi ini?
5. Apa hubungan antara PDF dan fungsi distribusi kumulatif (CDF)?

Tip: Menyederhanakan perhitungan variansi bisa membantu meminimalkan kesalahan saat bekerja dengan aljabar yang kompleks.