Para que un vector $\vec{R}$ sea perpendicular al vector $\vec{v}$ en $\mathbb{R}^3$, el producto punto de $\vec{R} - \vec{P}$ con $\vec{v}$ debe ser igual a 0:

$(\vec{R} - \vec{P}) \cdot \vec{v} = 0$

La ecuación de la recta está dada por:

$\vec{R} = \vec{P} + t \vec{v}$

Sustituyendo $\vec{R}$ en la condición de perpendicularidad:

$((\vec{P} + t\vec{v}) - \vec{P}) \cdot \vec{v} = 0$

Simplificando:

$(t\vec{v}) \cdot \vec{v} = 0$

El producto punto $\vec{v} \cdot \vec{v}$ es simplemente el cuadrado de la magnitud de $\vec{v}$, que es un número positivo, salvo que $\vec{v} = \vec{0}$. Por lo tanto, $t \cdot (\vec{v} \cdot \vec{v}) = 0$ implica que:

$t = 0$

Respuesta:

El único valor de $t$ tal que $\vec{R}$ es perpendicular a $\vec{v}$ es $t = 0$.

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Preguntas relacionadas:

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3. ¿Cuál es la interpretación geométrica de $t = 0$ en la ecuación de la recta?
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5. ¿Qué aplicaciones tiene este concepto en geometría o física?

Tip:

El producto punto es una herramienta clave para determinar relaciones angulares entre vectores. ¡Úsalo para verificar ortogonalidad rápidamente!