$$  $$0°<θ<45°の範囲でsinθ+cosθ=4/3のときsin^4θ+cos^4θの値を求めよ

問題は、$0^\circ < \theta < 45^\circ$の範囲で、$\sin \theta + \cos \theta = \frac{4}{3}$ のとき、$\sin^4 \theta + \cos^4 \theta$ の値を求めるものです。

### Step 1: 基本式の変形
まず、$\sin^4 \theta + \cos^4 \theta$ は以下の式に変形できます：

\[
\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^2 - 2\sin^2 \theta \cos^2 \theta
\]

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、上式は次のように簡略化されます：

\[
\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = 1 - 2\sin^2 \theta \cos^2 \theta
\]

次に、$\sin^2 \theta \cos^2 \theta$ を求める必要があります。

### Step 2: $(\sin \theta + \cos \theta)^2$ の展開
問題で与えられている $\sin \theta + \cos \theta = \frac{4}{3}$ を用いて、次の式を立てます：

\[
(\sin \theta + \cos \theta)^2 = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}
\]

一方で、$(\sin \theta + \cos \theta)^2$ は次のようにも表せます：

\[
(\sin \theta + \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta
\]

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ なので、

\[
1 + 2\sin \theta \cos \theta = \frac{16}{9}
\]

これを解いて、$\sin \theta \cos \theta$ を求めます：

\[
2\sin \theta \cos \theta = \frac{16}{9} - 1 = \frac{16}{9} - \frac{9}{9} = \frac{7}{9}
\]

\[
\sin \theta \cos \theta = \frac{7}{18}
\]

### Step 3: $\sin^4 \theta + \cos^4 \theta$ の計算
$\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = 1 - 2\sin^2 \theta \cos^2 \theta$ に代入します。

\[
\sin^2 \theta \cos^2 \theta = \left(\frac{7}{18}\right)^2 = \frac{49}{324}
\]

したがって、

\[
\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = 1 - 2 \times \frac{49}{324} = 1 - \frac{98}{324} = 1 - \frac{49}{162}
\]

\[
\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = \frac{162}{162} - \frac{49}{162} = \frac{113}{162}
\]

### 答え
$\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = \frac{113}{162}$ です。

---

他に質問や詳細の確認があればお知らせください。

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**Tip**: 三角関数の問題では、積和公式や二重角の公式を覚えておくと便利です。

0°<θ<45°の範囲でsinθ+cosθ=4/3のときsin^4θ+cos^4θの値を求めよ

Solve the trigonometric equation sinθ + cosθ = 4/3 in the range 0° < θ < 45°. Learn how to calculate sin^4θ + cos^4θ using trigonometric identities and algebraic manipulation, with step-by-step explanations. Suitable for students in Grades 10-12.

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