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Para hallar los valores extremos relativos de la función \( f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x \) en el intervalo \([0,3]\), debemos seguir los siguientes pasos:

1. **Calcular la derivada de la función:**
   \[
   f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x \right)
   \]
   Utilizando las reglas de derivación:
   \[
   f'(x) = x^2 - 3x + 2
   \]

2. **Encontrar los puntos críticos:**
   Los puntos críticos se encuentran donde la derivada se anula o no existe.
   \[
   f'(x) = 0 \implies x^2 - 3x + 2 = 0
   \]
   Resolviendo esta ecuación cuadrática:
   \[
   x^2 - 3x + 2 = 0 \implies (x-1)(x-2) = 0
   \]
   Así que, los puntos críticos son \( x = 1 \) y \( x = 2 \).

3. **Evaluar la función en los extremos del intervalo y en los puntos críticos:**
   - En los extremos del intervalo: \( x = 0 \) y \( x = 3 \)
   - En los puntos críticos: \( x = 1 \) y \( x = 2 \)

   \[
   f(0) = \frac{1}{3}(0)^3 - \frac{3}{2}(0)^2 + 2(0) = 0
   \]
   \[
   f(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - \frac{3}{2}(3)^2 + 2(3) = \frac{27}{3} - \frac{27}{2} + 6 = 9 - 13.5 + 6 = 1.5
   \]
   \[
   f(1) = \frac{1}{3}(1)^3 - \frac{3}{2}(1)^2 + 2(1) = \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2 = \frac{1}{3} - 1.5 + 2 = 0.8333
   \]
   \[
   f(2) = \frac{1}{3}(2)^3 - \frac{3}{2}(2)^2 + 2(2) = \frac{8}{3} - 6 + 4 = \frac{8}{3} - 2 = \frac{2}{3}
   \]

4. **Determinar los valores extremos relativos:**
   Comparando los valores obtenidos:
   \[
   f(0) = 0, \quad f(1) \approx 0.8333, \quad f(2) \approx 0.6667, \quad f(3) = 1.5
   \]

   El valor máximo relativo dentro del intervalo \([0,3]\) es \(f(3) = 1.5\).

5. **Conclusión:**
   - \( x = 3 \) es un punto de máximo relativo con \( f(3) = 1.5 \).
   - \( x = 1 \) es un punto de mínimo relativo con \( f(1) \approx 0.8333 \).

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### Tip
Asegúrate de verificar siempre el intervalo dado para los problemas de máximos y mínimos, ya que los extremos del intervalo pueden contener los valores extremos absolutos de la función.

Learn how to find relative extrema of the function f(x) = 1/3 x^3 - 3/2 x^2 + 2x within the interval [0,3]. Detailed steps include calculating derivatives, finding critical points, evaluating the function at critical points and interval endpoints, and determining relative extrema. Suitable for advanced high school students.

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