Para hallar los valores extremos relativos de la función $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x$ en el intervalo $[0,3]$, debemos seguir los siguientes pasos:

1. Calcular la derivada de la función: $f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x \right)$ Utilizando las reglas de derivación: $f'(x) = x^2 - 3x + 2$

2. Encontrar los puntos críticos: Los puntos críticos se encuentran donde la derivada se anula o no existe. $f'(x) = 0 \implies x^2 - 3x + 2 = 0$ Resolviendo esta ecuación cuadrática: $x^2 - 3x + 2 = 0 \implies (x-1)(x-2) = 0$ Así que, los puntos críticos son $x = 1$ y $x = 2$.

3. Evaluar la función en los extremos del intervalo y en los puntos críticos:

   • En los extremos del intervalo: $x = 0$ y $x = 3$
   • En los puntos críticos: $x = 1$ y $x = 2$

   $f(0) = \frac{1}{3}(0)^3 - \frac{3}{2}(0)^2 + 2(0) = 0$ $f(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - \frac{3}{2}(3)^2 + 2(3) = \frac{27}{3} - \frac{27}{2} + 6 = 9 - 13.5 + 6 = 1.5$ $f(1) = \frac{1}{3}(1)^3 - \frac{3}{2}(1)^2 + 2(1) = \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2 = \frac{1}{3} - 1.5 + 2 = 0.8333$ $f(2) = \frac{1}{3}(2)^3 - \frac{3}{2}(2)^2 + 2(2) = \frac{8}{3} - 6 + 4 = \frac{8}{3} - 2 = \frac{2}{3}$

4. Determinar los valores extremos relativos: Comparando los valores obtenidos: $f(0) = 0, \quad f(1) \approx 0.8333, \quad f(2) \approx 0.6667, \quad f(3) = 1.5$

   El valor máximo relativo dentro del intervalo $[0,3]$ es $f(3) = 1.5$.

5. Conclusión:

   • $x = 3$ es un punto de máximo relativo con $f(3) = 1.5$.
   • $x = 1$ es un punto de mínimo relativo con $f(1) \approx 0.8333$.

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Tip

Asegúrate de verificar siempre el intervalo dado para los problemas de máximos y mínimos, ya que los extremos del intervalo pueden contener los valores extremos absolutos de la función.