Untuk menemukan nilai maksimum, minimum, serta penyebutnya (yakni titik stasioner) dari fungsi $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2x + 5$, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1. Menentukan Turunan Pertama $f'(x)$

Langkah pertama adalah mencari turunan pertama dari fungsi tersebut untuk mendapatkan ekspresi dari gradien fungsi.

$f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2x + 5$

Turunan pertama:

$f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2x + 5\right)$

Menggunakan aturan turunan dasar:

$f'(x) = 3 \cdot \frac{1}{3}x^2 + 2 \cdot \frac{1}{2}x - 2$

$f'(x) = x^2 + x - 2$

2. Menyelesaikan Persamaan $f'(x) = 0$ untuk Menemukan Titik Stasioner

Untuk menemukan titik-titik stasioner (dimana gradiennya nol), kita selesaikan persamaan $f'(x) = 0$:

$x^2 + x - 2 = 0$

Persamaan kuadrat ini dapat diselesaikan dengan faktorisasi:

$(x + 2)(x - 1) = 0$

Maka, solusi untuk $x$ adalah:

$x = -2 \quad \text{atau} \quad x = 1$

3. Menentukan Jenis Titik Stasioner (Maksimum atau Minimum)

Untuk menentukan apakah titik $x = -2$ atau $x = 1$ adalah maksimum atau minimum, kita perlu mencari turunan kedua $f''(x)$.

Turunan kedua $f''(x)$:

$f''(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + x - 2)$ $f''(x) = 2x + 1$

Sekarang kita evaluasi turunan kedua pada masing-masing titik:

• Untuk $x = -2$:

$f''(-2) = 2(-2) + 1 = -4 + 1 = -3$

Karena $f''(-2) < 0$, maka $x = -2$ adalah titik maksimum.

• Untuk $x = 1$:

$f''(1) = 2(1) + 1 = 2 + 1 = 3$

Karena $f''(1) > 0$, maka $x = 1$ adalah titik minimum.

4. Menghitung Nilai Fungsi pada Titik Stasioner

Untuk menghitung nilai maksimum dan minimum, kita substitusi $x = -2$ dan $x = 1$ ke dalam fungsi asli $f(x)$.

• Untuk $x = -2$:

$f(-2) = \frac{1}{3}(-2)^3 + \frac{1}{2}(-2)^2 - 2(-2) + 5$ $f(-2) = \frac{1}{3}(-8) + \frac{1}{2}(4) + 4 + 5$ $f(-2) = -\frac{8}{3} + 2 + 4 + 5$ $f(-2) = -\frac{8}{3} + 11 = \frac{33}{3} - \frac{8}{3} = \frac{25}{3}$

Jadi, nilai maksimum adalah $f(-2) = \frac{25}{3}$.

• Untuk $x = 1$:

$f(1) = \frac{1}{3}(1)^3 + \frac{1}{2}(1)^2 - 2(1) + 5$ $f(1) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 + 5$ $f(1) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 3$

Menghitung dengan penyebut yang sama:

$f(1) = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} + \frac{18}{6} = \frac{23}{6}$

Jadi, nilai minimum adalah $f(1) = \frac{23}{6}$.

Kesimpulan:

• Titik maksimum ada di $x = -2$ dengan nilai maksimum $f(-2) = \frac{25}{3}$.
• Titik minimum ada di $x = 1$ dengan nilai minimum $f(1) = \frac{23}{6}$.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lain? Berikut beberapa pertanyaan yang relevan:

1. Bagaimana cara mencari titik stasioner jika fungsi yang diberikan lebih kompleks?
2. Apa perbedaan antara maksimum dan minimum lokal dengan maksimum dan minimum global?
3. Bagaimana cara menentukan titik infleksi dari sebuah fungsi?
4. Apa itu titik balik pada grafik fungsi dan bagaimana cara menemukannya?
5. Mengapa turunan kedua digunakan untuk menentukan jenis titik stasioner?

Tip: Selalu pastikan untuk memeriksa tanda dari turunan kedua pada titik stasioner untuk memastikan apakah itu titik maksimum atau minimum!