We zoeken de waarde van $p$ waarvoor de functie

$f(x) = \frac{3 + \ln(x)}{2x}$

precies een snijpunt heeft met de horizontale lijn $g(x) = p$. Dit betekent dat we $f(x) = p$ oplossen, oftewel:

$\frac{3 + \ln(x)}{2x} = p$

Stappen om $p$ te vinden:

1. Vermenigvuldig beide zijden met $2x$:

$3 + \ln(x) = 2px$

2. Herformuleer naar een uitdrukking voor $\ln(x)$:

$\ln(x) = 2px - 3$

3. Los op voor $x$:

Exponentieer beide zijden om $x$ te isoleren:

$x = e^{2px - 3}$

Bepaling van $p$:

Voor precies één snijpunt moet de functie $f(x)$ en de lijn $g(x) = p$ elkaar raken. Dit betekent dat de vergelijking maar één oplossing mag hebben. De voorwaarde voor één oplossing is dat de afgeleide van $f(x) - p$ nul wordt (raakpunt).

1. Bereken de afgeleide van $f(x)$:

$f(x) = \frac{3 + \ln(x)}{2x}$

Toepassend de quotiëntregel:

$f'(x) = \frac{(2x)(\frac{1}{x}) - (3 + \ln(x))(2)}{(2x)^2}$

$f'(x) = \frac{2 - 2(3 + \ln(x))}{4x^2} = \frac{-6 - 2\ln(x)}{4x^2} = \frac{-3 - \ln(x)}{2x^2}$

2. Raakpunt vinden: Bij een raakpunt geldt dat de helling van $f(x)$ gelijk is aan $0$. Dus stel $f'(x) = 0$:

$\frac{-3 - \ln(x)}{2x^2} = 0$

De teller moet nul zijn:

$-3 - \ln(x) = 0$

$\ln(x) = -3$

Exponentieer beide zijden:

$x = e^{-3}$

3. Vind $p$: Substitueer $x = e^{-3}$ in de oorspronkelijke vergelijking $f(x) = p$:

$p = \frac{3 + \ln(e^{-3})}{2e^{-3}}$

Bereken de termen:

$\ln(e^{-3}) = -3$

$p = \frac{3 - 3}{2e^{-3}} = \frac{0}{2e^{-3}} = 0$

Conclusie:

De functie $f(x) = \frac{3 + \ln(x)}{2x}$ heeft precies één snijpunt met de horizontale lijn $g(x) = p$ als $p = 0$.

---

Heeft u verdere uitleg nodig of specifieke stappen die verduidelijkt moeten worden?

Vragen:

1. Wilt u een grafische visualisatie van $f(x)$ en $g(x)$ zien?
2. Zal ik een gedetailleerdere afleiding geven van $f'(x)$?
3. Wilt u een voorbeeld voor een andere functie proberen?
4. Moet ik uitleggen waarom $f'(x) = 0$ leidt tot een raakpunt?
5. Wilt u verdere toepassingen van deze methode verkennen?

Tip:

Bij functies met logaritmen is het vaak handig om te controleren op beperkingen van het domein. In dit geval is $x > 0$ essentieel.