On considère l'équation non linéaire suivante : f(x) = x + ln((x+1)/2) = 0. 1. Montrer que cette équation admet une solution réelle unique α dans [0, 1]. 2. On voudrait résoudre cette équation par la méthode de point fixe, pour cela on considère l'équation suivante : x = g1(x) = 2e^(-x) - 1. a) Montrer que cette équation est équivalente à l'équation f(x) = x + ln((x+1)/2) = 0. b) Étudier la convergence de la méthode de point fixe xn+1 = g1(xn) sur [0, 1]. 3. On considère maintenant une autre équation équivalente donnée par : x = g2(x) = ln(2 / (x+1)). Étudier la convergence de la méthode de point fixe xn+1 = g2(xn) sur [0, 1]. 4. On procède maintenant à une réduction de l'intervalle [0, 1]. a) Vérifier que α ∈ [1/4, 1/2] la méthode de point fixe xn+1 = g2(xn) converge. b) Calculer les 10 premières itérations.