Потрібно знайти найменше значення параметра $a$, при якому нерівність $x^2 - 2x + a \geq 1$ виконується для всіх $x$.

Розв'яжемо цю задачу поетапно.

Крок 1: Приведення нерівності до стандартного вигляду

Запишемо нерівність у вигляді: $x^2 - 2x + a \geq 1$ Віднімемо 1 з обох сторін: $x^2 - 2x + a - 1 \geq 0$ Тепер приведемо ліву частину до квадрату різниці: $(x - 1)^2 + (a - 1) \geq 0$

Крок 2: Аналіз нерівності

Для того щоб ця нерівність виконувалася для всіх $x$, вираз $(x - 1)^2 + (a - 1)$ повинен бути невід'ємним для всіх $x$. Вираз $(x - 1)^2$ є квадратом, тому він завжди більший або дорівнює нулю, тобто $(x - 1)^2 \geq 0$. Отже, для того щоб нерівність була виконана, вираз $a - 1$ також повинен бути невід'ємним: $a - 1 \geq 0$

Крок 3: Знаходимо мінімальне значення параметра $a$

Звідси випливає: $a \geq 1$ Отже, найменше значення параметра $a$, при якому нерівність виконується для всіх $x$, дорівнює 1.

Відповідь: $a_{\text{min}} = 1$.

Чи потрібні вам деталі або виникли запитання?

Відносні питання:

1. Як зміниться розв'язок, якщо замість нерівності буде рівність?
2. Що станеться, якщо вираз містить додатковий параметр, наприклад, $bx^2 - 2x + a \geq 1$?
3. Як розв'язати подібну нерівність для інших квадратичних функцій?
4. Як знайти мінімальне значення параметра $a$, якщо нерівність буде строгою $>$?
5. Як виглядає графік функції $x^2 - 2x + a$, і як значення $a$ впливає на її положення?

Порада:

Для нерівностей, що містять квадратичні функції, завжди корисно звести до квадрата, щоб легко визначити умови на параметри.