При якому найменшому значенні а для всіх стверджується нерівність x²-2x+a ≥1 ?

Потрібно знайти найменше значення параметра \( a \), при якому нерівність \( x^2 - 2x + a \geq 1 \) виконується для всіх \( x \).

Розв'яжемо цю задачу поетапно.

### Крок 1: Приведення нерівності до стандартного вигляду
Запишемо нерівність у вигляді:
\[
x^2 - 2x + a \geq 1
\]
Віднімемо 1 з обох сторін:
\[
x^2 - 2x + a - 1 \geq 0
\]
Тепер приведемо ліву частину до квадрату різниці:
\[
(x - 1)^2 + (a - 1) \geq 0
\]

### Крок 2: Аналіз нерівності
Для того щоб ця нерівність виконувалася для всіх \( x \), вираз \( (x - 1)^2 + (a - 1) \) повинен бути невід'ємним для всіх \( x \). Вираз \( (x - 1)^2 \) є квадратом, тому він завжди більший або дорівнює нулю, тобто \( (x - 1)^2 \geq 0 \). Отже, для того щоб нерівність була виконана, вираз \( a - 1 \) також повинен бути невід'ємним:
\[
a - 1 \geq 0
\]

### Крок 3: Знаходимо мінімальне значення параметра \( a \)
Звідси випливає:
\[
a \geq 1
\]
Отже, найменше значення параметра \( a \), при якому нерівність виконується для всіх \( x \), дорівнює 1.

**Відповідь**: \( a_{\text{min}} = 1 \).

Чи потрібні вам деталі або виникли запитання?

### Відносні питання:
1. Як зміниться розв'язок, якщо замість нерівності буде рівність?
2. Що станеться, якщо вираз містить додатковий параметр, наприклад, \( bx^2 - 2x + a \geq 1 \)?
3. Як розв'язати подібну нерівність для інших квадратичних функцій?
4. Як знайти мінімальне значення параметра \( a \), якщо нерівність буде строгою \( > \)?
5. Як виглядає графік функції \( x^2 - 2x + a \), і як значення \( a \) впливає на її положення?

### Порада:
Для нерівностей, що містять квадратичні функції, завжди корисно звести до квадрата, щоб легко визначити умови на параметри.

Discover how to find the minimum value of parameter a for the quadratic inequality x^2 - 2x + a ≥ 1. This problem involves completing the square and analyzing quadratic inequalities. Suitable for advanced high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation