Untuk menentukan nilai minimum dari fungsi $f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2$ dengan kendala $g(x, y, z) = x + y + z - 8 = 0$ dan $h(x, y, z) = 2x - y + 3z - 28 = 0$, kita dapat menggunakan metode Lagrange multipliers. Berikut adalah langkah-langkahnya:

Langkah 1: Tentukan Fungsi Lagrange

Fungsi Lagrange untuk masalah ini adalah: $\mathcal{L}(x, y, z, \lambda, \mu) = f(x, y, z) - \lambda g(x, y, z) - \mu h(x, y, z)$ Substitusikan $f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2$, $g(x, y, z) = x + y + z - 8$, dan $h(x, y, z) = 2x - y + 3z - 28$, sehingga kita dapatkan: $\mathcal{L}(x, y, z, \lambda, \mu) = x^2 + y^2 + z^2 - \lambda (x + y + z - 8) - \mu (2x - y + 3z - 28)$

Langkah 2: Cari Turunan Parsial dari Lagrange

Untuk mencari titik kritis, kita perlu mengambil turunan parsial dari $\mathcal{L}$ terhadap $x$, $y$, $z$, $\lambda$, dan $\mu$, kemudian setarakan dengan nol.

1. Turunan parsial terhadap $x$: $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 2x - \lambda - 2\mu = 0$

2. Turunan parsial terhadap $y$: $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 2y - \lambda + \mu = 0$

3. Turunan parsial terhadap $z$: $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z} = 2z - \lambda - 3\mu = 0$

4. Turunan parsial terhadap $\lambda$: $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = -(x + y + z - 8) = 0$

5. Turunan parsial terhadap $\mu$: $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mu} = -(2x - y + 3z - 28) = 0$

Langkah 3: Selesaikan Sistem Persamaan

Kita sekarang memiliki sistem persamaan berikut: