以下の [1]~[4] に入る適切な数字を求めなさい。

1. 関数 f(x) = 4 - 2x2 + 8x は x = [1] のときに、最大値 [2] をとる。

2. 関数 f(x) = 16x0.5 - 4x は x = [3] のときに、最大値 [4] をとる。

解答に取り掛かる前に、それぞれの関数について最大値を取る \( x \) の値を見つけ、その後にその最大値を求めます。

### 1. \( f(x) = 4 - 2x^2 + 8x \)

まず、この関数の最大値を求めます。関数 \( f(x) \) の導関数を求め、臨界点を見つけます。

\[ f(x) = 4 - 2x^2 + 8x \]

導関数 \( f'(x) \) を求めます。

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(4 - 2x^2 + 8x) \]
\[ f'(x) = -4x + 8 \]

次に、この導関数をゼロにします。

\[ -4x + 8 = 0 \]
\[ 4x = 8 \]
\[ x = 2 \]

\( x = 2 \) のとき、関数 \( f(x) \) の値を求めます。

\[ f(2) = 4 - 2(2)^2 + 8(2) \]
\[ f(2) = 4 - 8 + 16 \]
\[ f(2) = 12 \]

よって、関数 \( f(x) = 4 - 2x^2 + 8x \) は \( x = 2 \) のときに、最大値 12 をとります。

### 2. \( f(x) = 16x^{0.5} - 4x \)

次に、この関数の最大値を求めます。関数 \( f(x) \) の導関数を求め、臨界点を見つけます。

\[ f(x) = 16x^{0.5} - 4x \]

導関数 \( f'(x) \) を求めます。

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(16x^{0.5} - 4x) \]
\[ f'(x) = 16 \cdot \frac{1}{2}x^{-0.5} - 4 \]
\[ f'(x) = 8x^{-0.5} - 4 \]
\[ f'(x) = \frac{8}{\sqrt{x}} - 4 \]

次に、この導関数をゼロにします。

\[ \frac{8}{\sqrt{x}} - 4 = 0 \]
\[ \frac{8}{\sqrt{x}} = 4 \]
\[ 8 = 4\sqrt{x} \]
\[ 2 = \sqrt{x} \]
\[ x = 4 \]

\( x = 4 \) のとき、関数 \( f(x) \) の値を求めます。

\[ f(4) = 16(4)^{0.5} - 4(4) \]
\[ f(4) = 16 \cdot 2 - 16 \]
\[ f(4) = 32 - 16 \]
\[ f(4) = 16 \]

よって、関数 \( f(x) = 16x^{0.5} - 4x \) は \( x = 4 \) のときに、最大値 16 をとります。

### 答え

1. 関数 \( f(x) = 4 - 2x^2 + 8x \) は \( x = [2] \) のときに、最大値 [12] をとる。
2. 関数 \( f(x) = 16x^{0.5} - 4x \) は \( x = [4] \) のときに、最大値 [16] をとる。

### 相対的な質問
1. 関数の最大値を求めるために導関数を利用する理由は何ですか？
2. \( f(x) = -2x^2 + 8x + 4 \) を平方完成するとどのようになりますか？
3. \( f(x) = 16x^{0.5} - 4x \) の他の臨界点を見つける方法は？
4. 導関数がゼロになる点が関数の最大値または最小値になる理由は何ですか？
5. \( f(x) = 4 - 2x^2 + 8x \) のグラフの形状はどのようになりますか？
6. \( f(x) = 16x^{0.5} - 4x \) の実際の応用例は何ですか？
7. 関数の最大値と最小値をグラフで視覚的に確認する方法は？
8. \( f(x) = 4 - 2x^2 + 8x \) の二次方程式を解く方法は？

### ワンポイントアドバイス
関数の最大値や最小値を求める際には、導関数を用いて臨界点を見つけ、それが最大値または最小値であるかを第二導関数の符号で確認することが重要です。

Learn how to find maximum values of quadratic and square root functions using derivatives and critical points. This problem involves calculating derivatives and identifying critical points to determine maximum values. Suitable for high school students.

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