3 La funzione denita da f(x) = 5x
3 − 6x − 2
A ammette minimo relativo nel punto p
2/5

B non ammette estremanti
C ammette massimo relativo nei punti ±
p
2/5
D ammette minimo relativo nel punto −
p
2/5
E ammette massimo relativo nel punto p
2/5

La funzione data è \( f(x) = 5x^3 - 6x - 2 \).

Per determinare se la funzione ammette un massimo o un minimo relativo nei punti indicati, dobbiamo prima calcolare la derivata prima della funzione e poi esaminare il segno della derivata nei punti critici.

1. **Calcolo della derivata prima**:
   \[
   f'(x) = \frac{d}{dx}(5x^3 - 6x - 2) = 15x^2 - 6
   \]

2. **Trovare i punti critici**:
   I punti critici si trovano risolvendo \( f'(x) = 0 \):
   \[
   15x^2 - 6 = 0
   \]
   \[
   15x^2 = 6 \implies x^2 = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}
   \]
   \[
   x = \pm \sqrt{\frac{2}{5}}
   \]

   Quindi, i punti critici sono \( x = \pm \sqrt{\frac{2}{5}} \).

3. **Determinare se i punti critici sono massimi o minimi**:
   Per determinare se questi punti critici corrispondono a un massimo o minimo relativo, possiamo esaminare il segno della derivata seconda.

   Derivata seconda di \( f(x) \):
   \[
   f''(x) = \frac{d}{dx}(15x^2 - 6) = 30x
   \]

   Valutiamo \( f''(x) \) nei punti \( x = \sqrt{\frac{2}{5}} \) e \( x = -\sqrt{\frac{2}{5}} \):
   - Per \( x = \sqrt{\frac{2}{5}} \), \( f''\left(\sqrt{\frac{2}{5}}\right) = 30\sqrt{\frac{2}{5}} \), che è positivo. Questo indica un **minimo relativo**.
   - Per \( x = -\sqrt{\frac{2}{5}} \), \( f''\left(-\sqrt{\frac{2}{5}}\right) = -30\sqrt{\frac{2}{5}} \), che è negativo. Questo indica un **massimo relativo**.

**Risposta corretta**: La funzione ammette un **massimo relativo** nel punto \( -\sqrt{\frac{2}{5}} \) e un **minimo relativo** nel punto \( \sqrt{\frac{2}{5}} \).

**La risposta corretta è la D: ammette minimo relativo nel punto \( -\sqrt{\frac{2}{5}} \).**

Vuoi ulteriori dettagli o hai altre domande?

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**Domande correlate:**

1. Come si determina il massimo relativo di una funzione?
2. Qual è il significato geometrico della derivata seconda in relazione ai punti critici?
3. Qual è il ruolo della derivata prima nel determinare la monotonia di una funzione?
4. Come si risolvono le equazioni di secondo grado che compaiono nella derivata prima?
5. Quali sono i possibili comportamenti di una funzione polinomiale di terzo grado?

**Tip:** Ricorda che i segni della derivata seconda in un punto critico indicano se la funzione ha un massimo o minimo relativo.

Explore how to determine extrema (maxima and minima) of polynomial functions using calculus. This problem involves finding critical points and analyzing the second derivative. Suitable for advanced high school students.

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