La funzione data è $f(x) = 5x^3 - 6x - 2$.

Per determinare se la funzione ammette un massimo o un minimo relativo nei punti indicati, dobbiamo prima calcolare la derivata prima della funzione e poi esaminare il segno della derivata nei punti critici.

1. Calcolo della derivata prima: $f'(x) = \frac{d}{dx}(5x^3 - 6x - 2) = 15x^2 - 6$

2. Trovare i punti critici: I punti critici si trovano risolvendo $f'(x) = 0$: $15x^2 - 6 = 0$ $15x^2 = 6 \implies x^2 = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$ $x = \pm \sqrt{\frac{2}{5}}$

   Quindi, i punti critici sono $x = \pm \sqrt{\frac{2}{5}}$.

3. Determinare se i punti critici sono massimi o minimi: Per determinare se questi punti critici corrispondono a un massimo o minimo relativo, possiamo esaminare il segno della derivata seconda.

   Derivata seconda di $f(x)$: $f''(x) = \frac{d}{dx}(15x^2 - 6) = 30x$

   Valutiamo $f''(x)$ nei punti $x = \sqrt{\frac{2}{5}}$ e $x = -\sqrt{\frac{2}{5}}$:

   • Per $x = \sqrt{\frac{2}{5}}$, $f''\left(\sqrt{\frac{2}{5}}\right) = 30\sqrt{\frac{2}{5}}$, che è positivo. Questo indica un minimo relativo.
   • Per $x = -\sqrt{\frac{2}{5}}$, $f''\left(-\sqrt{\frac{2}{5}}\right) = -30\sqrt{\frac{2}{5}}$, che è negativo. Questo indica un massimo relativo.

Risposta corretta: La funzione ammette un massimo relativo nel punto $-\sqrt{\frac{2}{5}}$ e un minimo relativo nel punto $\sqrt{\frac{2}{5}}$.

La risposta corretta è la D: ammette minimo relativo nel punto $-\sqrt{\frac{2}{5}}$.

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Tip: Ricorda che i segni della derivata seconda in un punto critico indicano se la funzione ha un massimo o minimo relativo.