二つの方程式

1. $y = x^2 + 5x + 9$
2. $y = 7x + k$

が接するためには、二つの曲線が1点で接する必要があります。これには、2つの条件が成り立つ必要があります：

• $y = x^2 + 5x + 9$ と $y = 7x + k$ が交わる点で、2つの方程式のy座標が等しい。
• その点で、2つの方程式の傾きが等しい。

まず、2つの方程式を連立して解きます。

1. 交点の条件

まず、2つの方程式の $y$ を等しくします。 $x^2 + 5x + 9 = 7x + k$ これを整理すると、次の二次方程式が得られます。 $x^2 - 2x + (9 - k) = 0$

2. 接する条件

接するためには、この二次方程式が重解（解が1つ）を持つ必要があります。つまり、判別式 $\Delta$ が0でなければなりません。

判別式は次のように計算されます： $\Delta = b^2 - 4ac$ ここで、二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ に対して、$a = 1$、$b = -2$、$c = 9 - k$ です。

したがって、判別式は： $\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (9 - k) = 4 - 4(9 - k) = 4 - 36 + 4k = 4k - 32$

この判別式が0になる必要があるため： $4k - 32 = 0$ $4k = 32$ $k = 8$

答え

$k = 8$ です。

接する条件を満たす $k$ は 8 です。

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他に質問や詳細な説明が必要ですか？次のような問題に挑戦してみてください。

1. $y = x^2 + 6x + 10$ と $y = 8x + k$ が接する場合の $k$ を求めよ。
2. $y = x^2 + 4x + 5$ と $y = 6x + k$ が接する場合の $k$ を求めよ。
3. $y = x^2 + 3x + 7$ と $y = 5x + k$ が交わるときの交点を求めよ。
4. $y = x^2 + 7x + 12$ と $y = 9x + k$ が接する場合の $k$ を求めよ。
5. $y = x^2 + 2x + 1$ と $y = 4x + k$ が交わるときの $k$ を求めよ。

Tip: 二次方程式が重解を持つためには、判別式が0になる必要があります。