y=x^2+5x+9とy=7x+kが接する場合のkを求めよ

二つの方程式

1. \( y = x^2 + 5x + 9 \)
2. \( y = 7x + k \)

が接するためには、二つの曲線が**1点で接する**必要があります。これには、2つの条件が成り立つ必要があります：

- \( y = x^2 + 5x + 9 \) と \( y = 7x + k \) が交わる点で、2つの方程式の**y座標が等しい**。
- その点で、2つの方程式の**傾きが等しい**。

まず、2つの方程式を連立して解きます。

### 1. 交点の条件
まず、2つの方程式の \( y \) を等しくします。
\[
x^2 + 5x + 9 = 7x + k
\]
これを整理すると、次の二次方程式が得られます。
\[
x^2 - 2x + (9 - k) = 0
\]

### 2. 接する条件
接するためには、この二次方程式が重解（解が1つ）を持つ必要があります。つまり、判別式 \( \Delta \) が0でなければなりません。

判別式は次のように計算されます：
\[
\Delta = b^2 - 4ac
\]
ここで、二次方程式 \( ax^2 + bx + c = 0 \) に対して、\( a = 1 \)、\( b = -2 \)、\( c = 9 - k \) です。

したがって、判別式は：
\[
\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (9 - k) = 4 - 4(9 - k) = 4 - 36 + 4k = 4k - 32
\]

この判別式が0になる必要があるため：
\[
4k - 32 = 0
\]
\[
4k = 32
\]
\[
k = 8
\]

### 答え
\( k = 8 \) です。

接する条件を満たす \( k \) は 8 です。

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他に質問や詳細な説明が必要ですか？次のような問題に挑戦してみてください。

1. \( y = x^2 + 6x + 10 \) と \( y = 8x + k \) が接する場合の \( k \) を求めよ。
2. \( y = x^2 + 4x + 5 \) と \( y = 6x + k \) が接する場合の \( k \) を求めよ。
3. \( y = x^2 + 3x + 7 \) と \( y = 5x + k \) が交わるときの交点を求めよ。
4. \( y = x^2 + 7x + 12 \) と \( y = 9x + k \) が接する場合の \( k \) を求めよ。
5. \( y = x^2 + 2x + 1 \) と \( y = 4x + k \) が交わるときの \( k \) を求めよ。

**Tip:** 二次方程式が重解を持つためには、判別式が0になる必要があります。

Learn how to find the value of k when the quadratic equation y = x^2 + 5x + 9 and the linear equation y = 7x + k are tangent. This problem uses the discriminant formula and explores algebraic concepts such as tangency conditions. Suitable for students in Grades 9-11.

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