Чтобы найти неопределённый интеграл $\int x(3-x)^4 \, dx$, мы можем использовать метод подстановки. В данном случае, подходящей подстановкой будет $u = 3 - x$.

Шаг 1: Подстановка

1. Пусть $u = 3 - x$.
2. Тогда $du = -dx$ или $dx = -du$.

Шаг 2: Преобразование интеграла

Теперь перепишем интеграл с новой переменной $u$: $\int x(3-x)^4 \, dx = \int x u^4 (-du).$

Но нам нужно выразить $x$ через $u$: $x = 3 - u.$

Теперь интеграл становится: $\int (3 - u) u^4 (-du) = - \int (3u^4 - u^5) \, du.$

Шаг 3: Интегрирование

Теперь интегрируем каждый член отдельно: $- \int (3u^4 - u^5) \, du = - \left( 3 \int u^4 \, du - \int u^5 \, du \right).$

Интегрируем: $3 \int u^4 \, du = 3 \cdot \frac{u^5}{5} = \frac{3u^5}{5},$ $\int u^5 \, du = \frac{u^6}{6}.$

Подставляем результаты: $- \left( \frac{3u^5}{5} - \frac{u^6}{6} \right).$

Шаг 4: Возвращение к переменной $x$

Теперь заменим $u$ на $3 - x$: $- \left( \frac{3(3 - x)^5}{5} - \frac{(3 - x)^6}{6} \right) + C,$ где $C$ - константа интегрирования.

Таким образом, окончательный результат: $\int x(3-x)^4 \, dx = - \left( \frac{3(3 - x)^5}{5} - \frac{(3 - x)^6}{6} \right) + C.$

Вопросы для дальнейшего изучения:

1. Как интегрировать произведение функций с использованием различных методов?
2. Что такое метод подстановки и как его применять в интегралах?
3. Как выполнять обратную замену после подстановки в интегралах?
4. Каким образом разлагаются сложные функции для упрощения интеграции?
5. Как определить константу интегрирования при нахождении неопределённых интегралов?
6. Какие существуют другие методы интегрирования, кроме подстановки?
7. Как интегрировать дробные и иррациональные функции?
8. Что такое частичная интеграция и когда её применять?

Советы

При интегрировании сложных выражений старайтесь выбрать подстановку, которая максимально упростит выражение, чтобы сделать интегрирование более управляемым.

Хотите рассмотреть другие примеры или углубиться в конкретный метод интегрирования?