Diberikan fungsi $f(x) = \frac{ax + b}{x^2 + 1}$, dan informasi bahwa $f(0) = f'(0)$ serta $f'(-1) = 1$, kita akan mencari nilai $f(-1)$.

Langkah-langkah:

1. Menghitung $f(0)$: $f(0) = \frac{a(0) + b}{0^2 + 1} = \frac{b}{1} = b$

2. Menghitung turunan pertama $f'(x)$:

   Kita gunakan aturan turunan fungsi pecahan $\frac{u(x)}{v(x)}$, yaitu: $f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$

   Di sini $u(x) = ax + b$ dan $v(x) = x^2 + 1$.

   Maka, turunan dari $u(x)$ dan $v(x)$ adalah: $u'(x) = a \quad \text{dan} \quad v'(x) = 2x$

   Jadi, turunan dari $f(x)$ adalah: $f'(x) = \frac{a(x^2 + 1) - (ax + b)(2x)}{(x^2 + 1)^2}$ Sederhanakan: $f'(x) = \frac{a(x^2 + 1) - (2ax^2 + 2bx)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{a - 2bx}{(x^2 + 1)^2}$

3. Menggunakan kondisi $f(0) = f'(0)$: Dari langkah 1, kita punya $f(0) = b$.

   Sekarang kita hitung $f'(0)$: $f'(0) = \frac{a - 2b(0)}{(0^2 + 1)^2} = a$

   Karena $f(0) = f'(0)$, maka: $b = a$

   Jadi, kita sudah menemukan bahwa $b = a$.

4. Menggunakan kondisi $f'(-1) = 1$: Hitung $f'(-1)$ dengan menggunakan ekspresi turunan $f'(x)$: $f'(-1) = \frac{a - 2b(-1)}{((-1)^2 + 1)^2} = \frac{a + 2b}{4}$

   Karena $f'(-1) = 1$, maka: $\frac{a + 2b}{4} = 1$ $a + 2b = 4$

   Karena kita sudah tahu bahwa $b = a$, maka: $a + 2a = 4 \quad \Rightarrow \quad 3a = 4 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{4}{3}$

   Jadi, $a = \frac{4}{3}$ dan $b = \frac{4}{3}$.

5. Menghitung $f(-1)$: Sekarang kita substitusi nilai $a$ dan $b$ ke dalam ekspresi untuk $f(x)$: $f(-1) = \frac{a(-1) + b}{(-1)^2 + 1} = \frac{\frac{4}{3}(-1) + \frac{4}{3}}{2} = \frac{-\frac{4}{3} + \frac{4}{3}}{2} = \frac{0}{2} = 0$

Jadi, $f(-1) = 0$.

Apakah penjelasan ini jelas? Ingin bertanya lebih lanjut?

Pertanyaan Terkait:

1. Bagaimana cara menyelesaikan soal turunan menggunakan aturan rantai?
2. Apa yang dimaksud dengan aturan hasil kali pada turunan?
3. Bagaimana kita menentukan kekontinuan suatu fungsi pada titik tertentu?
4. Apa perbedaan antara turunan pertama dan turunan kedua dari suatu fungsi?
5. Bagaimana cara menentukan titik stasioner suatu fungsi?

Tip: Saat menghitung turunan, perhatikan cara menyederhanakan ekspresi untuk meminimalisasi kesalahan.