odredite svojstvene vrijednosti i svojstvene vektore sljedece matrice:
2 3
3 2

Za određivanje svojstvenih vrijednosti i svojstvenih vektora matrice \( A \), prvo trebamo pronaći svojstvene vrijednosti rješavanjem karakteristične jednadžbe:

\[
\text{Det}(A - \lambda I) = 0
\]

Matrica \( A \) je:

\[
A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}
\]

Karakteristična jednadžba je:

\[
\text{Det} \left( \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right) = 0
\]

\[
\text{Det} \left( \begin{pmatrix} 2 - \lambda & 3 \\ 3 & 2 - \lambda \end{pmatrix} \right) = 0
\]

Determinanta matrice je:

\[
(2 - \lambda)(2 - \lambda) - 3 \cdot 3 = \lambda^2 - 4\lambda + 4 - 9 = \lambda^2 - 4\lambda - 5 = 0
\]

Rješenje kvadratne jednadžbe je:

\[
\lambda^2 - 4\lambda - 5 = (\lambda - 5)(\lambda + 1) = 0
\]

Dakle, svojstvene vrijednosti su:

\[
\lambda_1 = 5 \quad \text{i} \quad \lambda_2 = -1
\]

Sada, za svaku svojstvenu vrijednost, nađimo svojstvene vektore rješavanjem sustava \( (A - \lambda I) \mathbf{v} = 0 \).

1. Za \( \lambda_1 = 5 \):

\[
(A - 5I) \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2 - 5 & 3 \\ 3 & 2 - 5 \end{pmatrix} \mathbf{v} = \begin{pmatrix} -3 & 3 \\ 3 & -3 \end{pmatrix} \mathbf{v} = 0
\]

Ovo daje sustav:

\[
\begin{cases}
-3v_1 + 3v_2 = 0 \\
3v_1 - 3v_2 = 0
\end{cases}
\]

Što znači da su \( v_1 = v_2 \). Dakle, svojstveni vektor za \( \lambda_1 = 5 \) je \( \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \).

2. Za \( \lambda_2 = -1 \):

\[
(A + I) \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2 + 1 & 3 \\ 3 & 2 + 1 \end{pmatrix} \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} \mathbf{v} = 0
\]

Ovo daje sustav:

\[
\begin{cases}
3v_1 + 3v_2 = 0 \\
3v_1 + 3v_2 = 0
\end{cases}
\]

Što znači da je \( v_1 = -v_2 \). Dakle, svojstveni vektor za \( \lambda_2 = -1 \) je \( \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \).

**Rezime:**
- Svojstvene vrijednosti: \( \lambda_1 = 5 \), \( \lambda_2 = -1 \)
- Svojstveni vektori: \( \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \) za \( \lambda_1 = 5 \) i \( \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \) za \( \lambda_2 = -1 \).

**Želite li dodatna objašnjenja ili imate li dodatnih pitanja?**

**Povezana pitanja:**
1. Kako se koristi svojstvene vrijednosti u primjeni matrica?
2. Kako se računaju svojstvene vrijednosti za 3x3 matrice?
3. Što je geometrijsko značenje svojstvenih vektora?
4. Kako se koriste svojstvene vrijednosti u optimizaciji?
5. Kako izračunati svojstvene vektore pomoću Gaussove eliminacije?

**Savjet:** Učenje o svojstvenim vrijednostima i vektorima ključno je za razumijevanje mnogih koncepata u linearnim transformacijama i kvadratnim formama.

Discover how to find eigenvalues and eigenvectors of the matrix [2 3; 3 2]. This problem involves solving the characteristic equation, determining eigenvalues, and calculating corresponding eigenvectors. Suitable for advanced mathematics students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation