Math Problem Statement
odredite svojstvene vrijednosti i svojstvene vektore sljedece matrice: 2 3 3 2
Solution
Za određivanje svojstvenih vrijednosti i svojstvenih vektora matrice , prvo trebamo pronaći svojstvene vrijednosti rješavanjem karakteristične jednadžbe:
Matrica je:
Karakteristična jednadžba je:
Determinanta matrice je:
Rješenje kvadratne jednadžbe je:
Dakle, svojstvene vrijednosti su:
Sada, za svaku svojstvenu vrijednost, nađimo svojstvene vektore rješavanjem sustava .
- Za :
Ovo daje sustav:
-3v_1 + 3v_2 = 0 \\ 3v_1 - 3v_2 = 0 \end{cases}$$ Što znači da su $$v_1 = v_2$$. Dakle, svojstveni vektor za $$\lambda_1 = 5$$ je $$\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$. 2. Za $$\lambda_2 = -1$$: $$(A + I) \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2 + 1 & 3 \\ 3 & 2 + 1 \end{pmatrix} \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} \mathbf{v} = 0$$ Ovo daje sustav: $$\begin{cases} 3v_1 + 3v_2 = 0 \\ 3v_1 + 3v_2 = 0 \end{cases}$$ Što znači da je $$v_1 = -v_2$$. Dakle, svojstveni vektor za $$\lambda_2 = -1$$ je $$\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$$. **Rezime:** - Svojstvene vrijednosti: $$\lambda_1 = 5$$, $$\lambda_2 = -1$$ - Svojstveni vektori: $$\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ za $$\lambda_1 = 5$$ i $$\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$$ za $$\lambda_2 = -1$$. **Želite li dodatna objašnjenja ili imate li dodatnih pitanja?** **Povezana pitanja:** 1. Kako se koristi svojstvene vrijednosti u primjeni matrica? 2. Kako se računaju svojstvene vrijednosti za 3x3 matrice? 3. Što je geometrijsko značenje svojstvenih vektora? 4. Kako se koriste svojstvene vrijednosti u optimizaciji? 5. Kako izračunati svojstvene vektore pomoću Gaussove eliminacije? **Savjet:** Učenje o svojstvenim vrijednostima i vektorima ključno je za razumijevanje mnogih koncepata u linearnim transformacijama i kvadratnim formama.Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Eigenvalues
Eigenvectors
Matrix Determinant
Formulas
Characteristic equation
Eigenvalue equation
Matrix subtraction
Theorems
-
Suitable Grade Level
Advanced Mathematics
Related Recommendation
Find Eigenvalues and Eigenvectors of Matrix A=[1 2; 2 3]
Find Eigenvalues and Eigenvectors of Matrix [1 -2 2; -2 1 2; -2 0 3]
Eigenvalue and Eigenvector Calculation for 3x3 Matrix [2 0 0; 0 1 0; 0 1 2]
Finding Eigenvalues and Eigenvectors for a 2x2 Matrix with Complex Eigenvalues
Find Eigenvalues and Eigenvectors for Matrix [2, -1, 1; -1, 2, -1; 1, -2, 2]