Math Problem Statement

odredite svojstvene vrijednosti i svojstvene vektore sljedece matrice: 2 3 3 2

Solution

Za određivanje svojstvenih vrijednosti i svojstvenih vektora matrice AA, prvo trebamo pronaći svojstvene vrijednosti rješavanjem karakteristične jednadžbe:

Det(AλI)=0\text{Det}(A - \lambda I) = 0

Matrica AA je:

A=(2332)A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}

Karakteristična jednadžba je:

Det((2332)λ(1001))=0\text{Det} \left( \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right) = 0

Det((2λ332λ))=0\text{Det} \left( \begin{pmatrix} 2 - \lambda & 3 \\ 3 & 2 - \lambda \end{pmatrix} \right) = 0

Determinanta matrice je:

(2λ)(2λ)33=λ24λ+49=λ24λ5=0(2 - \lambda)(2 - \lambda) - 3 \cdot 3 = \lambda^2 - 4\lambda + 4 - 9 = \lambda^2 - 4\lambda - 5 = 0

Rješenje kvadratne jednadžbe je:

λ24λ5=(λ5)(λ+1)=0\lambda^2 - 4\lambda - 5 = (\lambda - 5)(\lambda + 1) = 0

Dakle, svojstvene vrijednosti su:

λ1=5iλ2=1\lambda_1 = 5 \quad \text{i} \quad \lambda_2 = -1

Sada, za svaku svojstvenu vrijednost, nađimo svojstvene vektore rješavanjem sustava (AλI)v=0(A - \lambda I) \mathbf{v} = 0.

  1. Za λ1=5\lambda_1 = 5:

(A5I)v=(253325)v=(3333)v=0(A - 5I) \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2 - 5 & 3 \\ 3 & 2 - 5 \end{pmatrix} \mathbf{v} = \begin{pmatrix} -3 & 3 \\ 3 & -3 \end{pmatrix} \mathbf{v} = 0

Ovo daje sustav:

-3v_1 + 3v_2 = 0 \\ 3v_1 - 3v_2 = 0 \end{cases}$$ Što znači da su $$v_1 = v_2$$. Dakle, svojstveni vektor za $$\lambda_1 = 5$$ je $$\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$. 2. Za $$\lambda_2 = -1$$: $$(A + I) \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2 + 1 & 3 \\ 3 & 2 + 1 \end{pmatrix} \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} \mathbf{v} = 0$$ Ovo daje sustav: $$\begin{cases} 3v_1 + 3v_2 = 0 \\ 3v_1 + 3v_2 = 0 \end{cases}$$ Što znači da je $$v_1 = -v_2$$. Dakle, svojstveni vektor za $$\lambda_2 = -1$$ je $$\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$$. **Rezime:** - Svojstvene vrijednosti: $$\lambda_1 = 5$$, $$\lambda_2 = -1$$ - Svojstveni vektori: $$\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ za $$\lambda_1 = 5$$ i $$\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$$ za $$\lambda_2 = -1$$. **Želite li dodatna objašnjenja ili imate li dodatnih pitanja?** **Povezana pitanja:** 1. Kako se koristi svojstvene vrijednosti u primjeni matrica? 2. Kako se računaju svojstvene vrijednosti za 3x3 matrice? 3. Što je geometrijsko značenje svojstvenih vektora? 4. Kako se koriste svojstvene vrijednosti u optimizaciji? 5. Kako izračunati svojstvene vektore pomoću Gaussove eliminacije? **Savjet:** Učenje o svojstvenim vrijednostima i vektorima ključno je za razumijevanje mnogih koncepata u linearnim transformacijama i kvadratnim formama.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Eigenvalues
Eigenvectors
Matrix Determinant

Formulas

Characteristic equation
Eigenvalue equation
Matrix subtraction

Theorems

-

Suitable Grade Level

Advanced Mathematics