Për të gjetur domenën e funksionit $f(x) = \sqrt{x^2 - 3x - 4}$, duhet të sigurohemi që shprehja brenda rrënjës të jetë jo-negative, pasi rrënja katrore është e përkufizuar vetëm për vlera $\geq 0$.

Pra, kërkojmë që:
$x^2 - 3x - 4 \geq 0$

Hapat për zgjidhjen:

1. Gjejmë zgjidhjet e ekuacionit ku kjo shprehje bëhet zero:
   $x^2 - 3x - 4 = 0$ E zgjidhim me formulën e rrenjëve: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ Ku $a = 1$, $b = -3$, dhe $c = -4$.
   $x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2}$ $x = \frac{3 \pm 5}{2}$ Kjo na jep dy rrenjë:
   $x_1 = \frac{3 + 5}{2} = 4 \quad \text{dhe} \quad x_2 = \frac{3 - 5}{2} = -1$

2. Vendosim rrenjët në një vijë numerike për të analizuar intervalet ku $x^2 - 3x - 4 \geq 0$. Rrenjët janë $x = -1$ dhe $x = 4$.

3. Testojmë vlerat e shprehjes $x^2 - 3x - 4$ në intervalet:

   • Për $x < -1$, p.sh. $x = -2$:
     $(-2)^2 - 3(-2) - 4 = 4 + 6 - 4 = 6 \quad (\geq 0)$
   • Për $-1 < x < 4$, p.sh. $x = 0$:
     $0^2 - 3(0) - 4 = -4 \quad (\text{jo e pranueshme})$
   • Për $x > 4$, p.sh. $x = 5$:
     $5^2 - 3(5) - 4 = 25 - 15 - 4 = 6 \quad (\geq 0)$

4. Domeni është intervali ku shprehja është jo-negative: $(-\infty, -1] \cup [4, \infty)$

Përfundim:

Domeni i funksionit $f(x) = \sqrt{x^2 - 3x - 4}$ është: $D(f) = (-\infty, -1] \cup [4, \infty)$

A ke pyetje ose dëshiron më shumë detaje për ndonjë hap?

Pyetje të ngjashme:

1. Si zgjidhet një ekuacion kuadratike në mënyra të tjera?
2. Çfarë do të ndodhte nëse funksioni përmbante një rrënjë të tretë?
3. Si përkufizohet domeni për funksione të ndryshme?
4. A ka ndonjë ndryshim kur kemi rrënjë të dyfishtë në një funksion kuadratik?
5. Si përcaktohet intervali i konkavitetit për funksione kuadratike?

Këshillë: Në rastet ku shfaqen rrënjë katrore, është e rëndësishme të kontrollohen vlerat e lejuara brenda rrënjës për të shmangur numra kompleksë.