Për të gjetur **domenën** e funksionit \( f(x) = \sqrt{x^2 - 3x - 4} \), duhet të sigurohemi që shprehja brenda rrënjës të jetë jo-negative, pasi rrënja katrore është e përkufizuar vetëm për vlera \( \geq 0 \).

Pra, kërkojmë që:  
\[
x^2 - 3x - 4 \geq 0
\]

### Hapat për zgjidhjen:
1. Gjejmë zgjidhjet e ekuacionit ku kjo shprehje bëhet zero:  
   \[
   x^2 - 3x - 4 = 0
   \]
   E zgjidhim me formulën e rrenjëve:
   \[
   x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
   \]
   Ku \( a = 1 \), \( b = -3 \), dhe \( c = -4 \).  
   \[
   x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2}
   \]
   \[
   x = \frac{3 \pm 5}{2}
   \]
   Kjo na jep dy rrenjë:  
   \[
   x_1 = \frac{3 + 5}{2} = 4 \quad \text{dhe} \quad x_2 = \frac{3 - 5}{2} = -1
   \]

2. Vendosim rrenjët në një vijë numerike për të analizuar intervalet ku \( x^2 - 3x - 4 \geq 0 \). Rrenjët janë \( x = -1 \) dhe \( x = 4 \).

3. Testojmë vlerat e shprehjes \( x^2 - 3x - 4 \) në intervalet:
   - Për \( x < -1 \), p.sh. \( x = -2 \):  
     \[ (-2)^2 - 3(-2) - 4 = 4 + 6 - 4 = 6 \quad (\geq 0) \]
   - Për \( -1 < x < 4 \), p.sh. \( x = 0 \):  
     \[ 0^2 - 3(0) - 4 = -4 \quad (\text{jo e pranueshme}) \]
   - Për \( x > 4 \), p.sh. \( x = 5 \):  
     \[ 5^2 - 3(5) - 4 = 25 - 15 - 4 = 6 \quad (\geq 0) \]

4. Domeni është intervali ku shprehja është jo-negative:
   \[
   (-\infty, -1] \cup [4, \infty)
   \]

### Përfundim:
Domeni i funksionit \( f(x) = \sqrt{x^2 - 3x - 4} \) është:
\[
D(f) = (-\infty, -1] \cup [4, \infty)
\]

A ke pyetje ose dëshiron më shumë detaje për ndonjë hap?  
---

### Pyetje të ngjashme:
1. Si zgjidhet një ekuacion kuadratike në mënyra të tjera?
2. Çfarë do të ndodhte nëse funksioni përmbante një rrënjë të tretë?
3. Si përkufizohet domeni për funksione të ndryshme?
4. A ka ndonjë ndryshim kur kemi rrënjë të dyfishtë në një funksion kuadratik?
5. Si përcaktohet intervali i konkavitetit për funksione kuadratike?

**Këshillë:** Në rastet ku shfaqen rrënjë katrore, është e rëndësishme të kontrollohen vlerat e lejuara brenda rrënjës për të shmangur numra kompleksë.

Learn how to find the domain of the function f(x) = √(x^2 - 3x - 4) with a detailed step-by-step solution. This guide explains the quadratic formula and how to determine valid intervals for square root expressions, suitable for students in Grades 9-11.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation