Для того щоб знайти критичні точки функції $f(x) = (x - 1)^6$ та дослідити їх на екстремум, ми повинні виконати такі кроки:

1. Знайдемо похідну функції $f'(x)$:

$f(x) = (x - 1)^6$ Застосовуємо правило диференціювання степеневої функції: $f'(x) = 6(x - 1)^5 \cdot 1 = 6(x - 1)^5$

2. Знайдемо критичні точки:

Критичні точки знаходяться там, де похідна функції дорівнює нулю або не існує. Отже, розв'яжемо рівняння: $f'(x) = 6(x - 1)^5 = 0$ Звідси: $(x - 1)^5 = 0$ $x = 1$ Таким чином, критична точка $x = 1$.

3. Дослідження критичної точки на екстремум:

Для дослідження на екстремум використовуємо другий метод – знак похідної або другий метод – похідну другого порядку.

Перевірка через другий метод похідної: Знайдемо другу похідну: $f''(x) = \frac{d}{dx} \left( 6(x - 1)^5 \right) = 30(x - 1)^4$

Перевіряємо знак другої похідної в точці $x = 1$: $f''(1) = 30(1 - 1)^4 = 30 \cdot 0 = 0$ Оскільки друга похідна в точці $x = 1$ дорівнює нулю, використання цього критерію екстремуму не дає чіткої відповіді.

4. Дослідження за знаком першої похідної:

Оцінимо знаки першої похідної до та після точки $x = 1$:

• Для $x < 1$, наприклад, $x = 0$, маємо: $f'(0) = 6(0 - 1)^5 = -6$ Похідна від'ємна.

• Для $x > 1$, наприклад, $x = 2$, маємо: $f'(2) = 6(2 - 1)^5 = 6$ Похідна додатна.

Оскільки зміна знаку першої похідної від'ємної до додатної не відбувається (функція є зростаючою і спадаючою на певних інтервалах), точка $x = 1$ не є точкою екстремуму. Функція в точці $x = 1$ має горизонтальний перегин.

Висновок:

• Критична точка: $x = 1$.
• В точці $x = 1$ функція не має екстремуму, але це є точкою горизонтального перегину.

Чи бажаєте більше деталей, або маєте питання?

Схожі питання:

1. Як знаходити екстремуми для інших типів функцій?
2. Як інтерпретувати результати другої похідної в інших випадках?
3. Чи є похідна завжди необхідною для знаходження екстремумів?
4. Як знаходити горизонтальні перегини в інших функціях?
5. Які інші методи дослідження на екстремум ви знаєте?

Порада:

При дослідженні на екстремум використовуйте метод другої похідної для визначення опуклості функції у критичних точках.