f(x)=(x-1)^6Знайти критичні точки функції
f x( )
та дослідити їх на екстремум:

Для того щоб знайти критичні точки функції \( f(x) = (x - 1)^6 \) та дослідити їх на екстремум, ми повинні виконати такі кроки:

### 1. **Знайдемо похідну функції \( f'(x) \):**
\[
f(x) = (x - 1)^6
\]
Застосовуємо правило диференціювання степеневої функції:
\[
f'(x) = 6(x - 1)^5 \cdot 1 = 6(x - 1)^5
\]

### 2. **Знайдемо критичні точки:**
Критичні точки знаходяться там, де похідна функції дорівнює нулю або не існує. 
Отже, розв'яжемо рівняння:
\[
f'(x) = 6(x - 1)^5 = 0
\]
Звідси:
\[
(x - 1)^5 = 0
\]
\[
x = 1
\]
Таким чином, критична точка \( x = 1 \).

### 3. **Дослідження критичної точки на екстремум:**
Для дослідження на екстремум використовуємо другий метод – знак похідної або другий метод – похідну другого порядку.

**Перевірка через другий метод похідної:**
Знайдемо другу похідну:
\[
f''(x) = \frac{d}{dx} \left( 6(x - 1)^5 \right) = 30(x - 1)^4
\]

Перевіряємо знак другої похідної в точці \( x = 1 \):
\[
f''(1) = 30(1 - 1)^4 = 30 \cdot 0 = 0
\]
Оскільки друга похідна в точці \( x = 1 \) дорівнює нулю, використання цього критерію екстремуму не дає чіткої відповіді.

### 4. **Дослідження за знаком першої похідної:**
Оцінимо знаки першої похідної до та після точки \( x = 1 \):
- Для \( x < 1 \), наприклад, \( x = 0 \), маємо:
  \[
  f'(0) = 6(0 - 1)^5 = -6
  \]
  Похідна від'ємна.

- Для \( x > 1 \), наприклад, \( x = 2 \), маємо:
  \[
  f'(2) = 6(2 - 1)^5 = 6
  \]
  Похідна додатна.

Оскільки зміна знаку першої похідної від'ємної до додатної не відбувається (функція є зростаючою і спадаючою на певних інтервалах), точка \( x = 1 \) не є точкою екстремуму. Функція в точці \( x = 1 \) має горизонтальний перегин.

### Висновок:
- Критична точка: \( x = 1 \).
- В точці \( x = 1 \) функція не має екстремуму, але це є точкою горизонтального перегину.

Чи бажаєте більше деталей, або маєте питання?

### Схожі питання:
1. Як знаходити екстремуми для інших типів функцій?
2. Як інтерпретувати результати другої похідної в інших випадках?
3. Чи є похідна завжди необхідною для знаходження екстремумів?
4. Як знаходити горизонтальні перегини в інших функціях?
5. Які інші методи дослідження на екстремум ви знаєте?

### Порада:
При дослідженні на екстремум використовуйте метод другої похідної для визначення опуклості функції у критичних точках.

Learn how to find critical points and analyze extrema for the function f(x) = (x - 1)^6. This problem involves differentiation using the power rule, identification of critical points, and application of the second derivative test. Suitable for advanced high school students and calculus learners.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation