Math Problem Statement

Je daný obdĺžnik KLMN ktorého vrcholy K, L majú K[5;1], L[-1;4]. Vrchol M leží na súradnicovej osi x. Zisti súradnice vrcholu M pomocou : dĺžky usecky a stredu. Analytická geometria

Solution

Máme obdĺžnik KLMNKLMN, kde sú dané vrcholy K[5;1]K[5;1], L[1;4]L[-1;4], a vieme, že vrchol MM leží na osi xx (t.j. jeho súradnice budú v tvare M[x;0]M[x;0]).

Využijeme fakt, že v obdĺžniku sú strany rovnobežné s osami a uhlopriečky sa pretínajú v strede obdĺžnika.

1. Krok: Nájdeme stred uhlopriečky KLKL

Stred uhlopriečky (a tým aj stred obdĺžnika) nájdeme ako priemer súradníc bodov KK a LL: S=(xK+xL2,yK+yL2)S = \left( \frac{x_K + x_L}{2}, \frac{y_K + y_L}{2} \right) Po dosadení hodnôt: S=(5+(1)2,1+42)=(42,52)=(2;2.5)S = \left( \frac{5 + (-1)}{2}, \frac{1 + 4}{2} \right) = \left( \frac{4}{2}, \frac{5}{2} \right) = (2; 2.5)

2. Krok: Stred obdĺžnika je zároveň stredom uhlopriečok

Pretože bod MM leží na osi xx, jeho súradnice budú v tvare M[x;0]M[x;0]. Vieme, že stred obdĺžnika je stredom uhlopriečky KMKM, preto musí platiť: S=(xK+xM2,yK+yM2)S = \left( \frac{x_K + x_M}{2}, \frac{y_K + y_M}{2} \right) Z týchto vzťahov vieme vypočítať súradnice bodu MM.

3. Krok: Vypočítame súradnice MM

Pre os xx: 5+xM2=2\frac{5 + x_M}{2} = 2 Vyriešime rovnici: 5+xM=4    xM=15 + x_M = 4 \implies x_M = -1

Pre os yy: 1+02=2.5\frac{1 + 0}{2} = 2.5 Z tejto rovnice však dostaneme rozpor, čo znamená, že môj pôvodný predpoklad, že MM leží na osi xx, nie je správny, alebo problém vyžaduje ďalšie dáta.

Chcete pokračovať alebo potrebujete vysvetlenie nejakých krokov?


Relatívne otázky:

  1. Ako nájdeme súradnice bodu, ak poznáme dĺžky strán obdĺžnika?
  2. Aký je vzťah medzi uhlopriečkami obdĺžnika v analytickej geometrii?
  3. Ako vieme, že bod MM leží na osi xx?
  4. Čo znamená, ak vznikne rozpor v súradniciach?
  5. Ako môžeme overiť, či je obdĺžnik správne definovaný?

Tip:

Pri riešení úloh v analytickej geometrii je dobré vizualizovať body a geometrické útvary, aby sa zjednodušilo riešenie pomocou rovníc.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Analytical Geometry
Midpoint of a Line Segment
Coordinates on the Cartesian Plane

Formulas

Midpoint formula: S = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2)
Equation solving for x and y coordinates

Theorems

Properties of diagonals in a rectangle
Symmetry in rectangles

Suitable Grade Level

Grades 9-12