Para resolver ambos problemas, debemos completar el cuadrado en cada ecuación para obtener la forma estándar de una circunferencia, que es:

$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$

donde $(h, k)$ es el centro y $r$ el radio.

Problema 1

Dada la ecuación: $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 4 = 0$

Paso 1: Agrupamos los términos de $x$ y $y$: $(x^2 - 2x) + (y^2 + 4y) = 4$

Paso 2: Completamos el cuadrado para $x$ y $y$:

• Para $x^2 - 2x$: el término necesario es $\left(\frac{-2}{2}\right)^2 = 1$.
• Para $y^2 + 4y$: el término necesario es $\left(\frac{4}{2}\right)^2 = 4$.

Sumamos y restamos estos términos en la ecuación:

$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) = 4 + 1 + 4$

Paso 3: Factorizamos y simplificamos:

$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9$

Resultado:

• Centro: $C(1, -2)$
• Radio: $r = \sqrt{9} = 3$

Respuesta correcta: d. $C(1, -3), r=3$

Problema 2

Dada la ecuación: $9x^2 + 9y^2 - 36x - 6y + 1 = 0$

Dividimos toda la ecuación entre 9 para simplificar:

$x^2 + y^2 - 4x - \frac{2}{3}y + \frac{1}{9} = 0$

Paso 1: Agrupamos los términos de $x$ y $y$:

$(x^2 - 4x) + \left(y^2 - \frac{2}{3}y\right) = -\frac{1}{9}$

Paso 2: Completamos el cuadrado para $x$ y $y$:

• Para $x^2 - 4x$: el término necesario es $\left(\frac{-4}{2}\right)^2 = 4$.
• Para $y^2 - \frac{2}{3}y$: el término necesario es $\left(\frac{-\frac{2}{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{9}$.

Sumamos estos términos en la ecuación:

$(x^2 - 4x + 4) + \left(y^2 - \frac{2}{3}y + \frac{1}{9}\right) = -\frac{1}{9} + 4 + \frac{1}{9}$

Paso 3: Factorizamos y simplificamos:

$(x - 2)^2 + \left(y - \frac{1}{3}\right)^2 = 4$

Resultado:

• Centro: $C\left(2, \frac{1}{3}\right)$
• Radio: $r = \sqrt{4} = 2$
• Longitud de la circunferencia $L_c = 2 \pi r = 4\pi$

Respuesta correcta: a. $C\left(2, \frac{1}{3}\right), r=2, L_c=4\pi$

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