Tentukan kepadatan probabilitas X diberikan oleh
f ( x ) =    {c( 4 x − 2x  2 ) ,  0 < x < 2
                 0                         Selain itu

       (a) Berapakah nilai c?
       (b)P { $$ \frac12 $$ < X < $$ \frac32 $$}= ?

Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan mulai dengan mencari nilai konstanta $ c $ dan kemudian menghitung probabilitas pada interval yang diberikan.

### Diketahui:
Fungsi kepadatan probabilitas $ f(x) $ didefinisikan sebagai:
\[
f(x) = 
\begin{cases}
c(4x - 2x^2) & 0 < x < 2 \\
0 & \text{selain itu}
\end{cases}
\]

#### (a) Mencari nilai $ c $

Syarat dasar untuk sebuah fungsi kepadatan probabilitas adalah bahwa integral dari fungsi tersebut pada interval ruang sampel harus sama dengan 1:
\[
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1
\]
Karena $ f(x) = 0 $ untuk $ x \notin (0, 2) $, kita cukup menghitung integral dari $ f(x) $ pada interval $ (0, 2) $:
\[
\int_0^2 c(4x - 2x^2) dx = 1
\]
Mari kita hitung nilai $ c $.

\[
\int_0^2 c(4x - 2x^2) dx = c \int_0^2 (4x - 2x^2) dx
\]
Menghitung integral dari masing-masing suku:

\[
\int_0^2 4x dx = \left[ 2x^2 \right]_0^2 = 2(2)^2 - 2(0)^2 = 8
\]
\[
\int_0^2 2x^2 dx = \left[ \frac{2}{3}x^3 \right]_0^2 = \frac{2}{3}(2^3) - \frac{2}{3}(0^3) = \frac{16}{3}
\]
Jadi:
\[
c(8 - \frac{16}{3}) = 1 \implies c\left(\frac{24}{3} - \frac{16}{3}\right) = 1 \implies c\left(\frac{8}{3}\right) = 1
\]
\[
c = \frac{3}{8}
\]

Jadi, nilai $ c $ adalah $ \frac{3}{8} $.

#### (b) Mencari probabilitas $ P\left(\frac{1}{2} < X < \frac{3}{2}\right) $

Sekarang kita akan menghitung probabilitas $ P\left(\frac{1}{2} < X < \frac{3}{2}\right) $, yaitu:

\[
P\left(\frac{1}{2} < X < \frac{3}{2}\right) = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} f(x) dx = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{3}{8} (4x - 2x^2) dx
\]

Mari kita hitung integralnya:

\[
\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{3}{8} (4x - 2x^2) dx = \frac{3}{8} \left( \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} 4x dx - \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} 2x^2 dx \right)
\]

Sekarang kita hitung masing-masing integral:

\[
\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} 4x dx = \left[ 2x^2 \right]_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} = 2\left(\left(\frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2\right) = 2\left(\frac{9}{4} - \frac{1}{4}\right) = 2 \times 2 = 4
\]

\[
\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} 2x^2 dx = \left[ \frac{2}{3} x^3 \right]_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}\left(\left(\frac{3}{2}\right)^3 - \left(\frac{1}{2}\right)^3\right) = \frac{2}{3} \left(\frac{27}{8} - \frac{1}{8}\right) = \frac{2}{3} \times \frac{26}{8} = \frac{52}{24} = \frac{13}{6}
\]

Jadi, kita punya:

\[
\frac{3}{8} \left(4 - \frac{13}{6}\right) = \frac{3}{8} \times \frac{24 - 13}{6} = \frac{3}{8} \times \frac{11}{6} = \frac{33}{48} = \frac{11}{16}
\]

Jadi, probabilitasnya adalah $ \frac{11}{16} $.

### Kesimpulan:
- (a) Nilai $ c $ adalah $ \frac{3}{8} $.
- (b) $ P\left(\frac{1}{2} < X < \frac{3}{2}\right) = \frac{11}{16} $.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan?

Berikut 5 soal terkait:
1. Bagaimana menentukan ekspektasi dari distribusi probabilitas ini?
2. Bagaimana menghitung varians $ X $?
3. Jika $ X $ memiliki distribusi yang sama, berapa $ P(X > 1) $?
4. Bagaimana bentuk distribusi kumulatif (CDF) untuk $ X $?
5. Apakah distribusi ini simetris atau tidak?

**Tip:** Saat menghitung integral, cobalah untuk memecahnya menjadi integral lebih sederhana jika mungkin.

Tentukan kepadatan probabilitas X diberikan oleh f(x) = {c(4x − 2x^2) , 0 < x < 2; 0 selain itu}. (a) Berapakah nilai c? (b) P { 1/2 < X < 3/2 } = ?

Solve the problem of finding the constant c in the probability density function f(x) = c(4x − 2x^2) for 0 < x < 2. Also, calculate the probability that X lies between 1/2 and 3/2 using integral calculus. This problem involves probability theory and is suitable for undergraduate students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation