Vi har funksjonen:

$y = f(x) = \frac{2x^3 + 1}{x^2 + 2}$

For å finne asymptotene, må vi undersøke både vertikale og skrå/horisontale asymptoter.

1. Vertikale asymptoter:

For å finne vertikale asymptoter, må vi se når nevneren (den nedre delen av brøken) er lik null, siden det kan føre til at funksjonen går mot uendelig.

Nevneren er: $x^2 + 2 = 0$

Denne likningen gir ingen reelle røtter, fordi $x^2 + 2$ er alltid positiv for alle reelle $x$. Dermed har ikke funksjonen noen vertikale asymptoter.

2. Skrå eller horisontale asymptoter:

For å finne skrå eller horisontale asymptoter, ser vi på hva som skjer når $x$ går mot uendelig ($x \to \infty$).

Funksjonen er av form:

$\frac{2x^3 + 1}{x^2 + 2}$

Vi kan nå se på grenseverdiene for $x \to \infty$. Her er det viktig å sammenligne graden på telleren (som er 3) og nevneren (som er 2).

• Når graden til telleren er større enn graden til nevneren, vil funksjonen ha en skrå asymptote.

Vi utfører polynomdivisjon på uttrykket for å finne skrå asymptote:

$\frac{2x^3 + 1}{x^2 + 2} = 2x + \frac{-4x + 1}{x^2 + 2}$

Når $x$ går mot uendelig, vil den resterende brøken $\frac{-4x + 1}{x^2 + 2}$ gå mot null, fordi nevneren vokser raskere enn telleren.

Dermed har funksjonen en skrå asymptote gitt av: $y = 2x$

Oppsummering:

• Det er ingen vertikale asymptoter.
• Funksjonen har en skrå asymptote ved $y = 2x$.

Vil du ha detaljer om noen av trinnene eller har du spørsmål?

Her er 5 relaterte spørsmål:

1. Hvordan finner man horisontale asymptoter for funksjoner med lavere grad i telleren?
2. Kan en funksjon ha både vertikale og horisontale asymptoter?
3. Hva betyr det når en funksjon har en skrå asymptote?
4. Hva er sammenhengen mellom polynomdivisjon og asymptoter?
5. Hva er forskjellen på en skrå asymptote og en kurve som nærmer seg en linje?

Tips: Å utføre polynomdivisjon er en effektiv metode for å finne skrå asymptoter for rasjonale funksjoner.