Votre expression donnée est :  
\[ Kx(k+1) + \frac{(k+1)x^2}{2} \]

Si vous voulez factoriser par \( x^2 \), il faut examiner les termes où \( x^2 \) peut être extrait.

### Réécriture de l'expression :
1. **Premier terme** : \( Kx(k+1) \) peut être réécrit en distribuant \( x \) à \( (k+1) \), soit \( Kxk + Kx \).
2. **Deuxième terme** : \( \frac{(k+1)x^2}{2} \) est déjà en forme avec \( x^2 \).

Maintenant, pour factoriser \( x^2 \), nous devons réorganiser l'expression et l'extraire des termes communs.

### Étape 1 : Extraire \( x \) :
L'expression devient :  
\[ x\left( K(k+1) + \frac{(k+1)x}{2} \right) \]

### Étape 2 : Factorisation par \( x^2 \) :
Nous observons que dans la deuxième partie, nous avons un terme avec \( x^2 \), mais le premier terme n'a qu'un seul \( x \). Ainsi, nous pouvons réécrire l'expression sous la forme :

\[ x \left( K(k+1) + \frac{(k+1)x}{2} \right) \]

Donc, l'expression factorisée par \( x \) est correcte.

Si vous voulez plus de détails sur ce type de factorisation ou si vous avez d'autres questions, je peux approfondir certains concepts. Avez-vous des questions ou des points qui ne sont pas clairs ?

### Questions relatives :
1. Comment identifier les termes communs dans une expression pour la factorisation ?
2. Quel est l'impact de la distribution de facteurs sur la simplification d'une équation ?
3. Quelles sont les règles pour factoriser des expressions comportant plusieurs variables ?
4. Comment appliquer cette méthode dans des problèmes algébriques plus complexes ?
5. Existe-t-il des cas où factoriser par \( x^2 \) n'est pas la meilleure option ?

### Conseil :
Lorsque vous factorisez des expressions, commencez par rechercher le plus grand facteur commun afin de simplifier efficacement dès le départ.

Explore how to factorize the algebraic expression Kx(k+1) + (k+1)x^2/2 by extracting common factors, specifically x^2. This detailed explanation covers key algebraic concepts like factorization and the distributive property, suitable for students in Grades 10-12.

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