要研究函数 $f(x, y) = 4(x - y) - x^2 - y^2$ 的极值问题，可以按照以下步骤进行：

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1. 求偏导数

对 $f(x, y)$ 分别对 $x$ 和 $y$ 求偏导数：

$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 4 - 2x$ $f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = -4 - 2y$

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2. 设偏导数为零，解方程组

令 $f_x = 0$ 和 $f_y = 0$： $4 - 2x = 0 \quad \text{和} \quad -4 - 2y = 0$

解得： $x = 2, \quad y = -2$

因此，函数在点 $(2, -2)$ 处可能存在极值。

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3. 判断极值性质

构造二阶偏导数：

$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -2, \quad f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -2, \quad f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 0$

计算 判别式 $D$： $D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = (-2)(-2) - (0)^2 = 4$

因为 $D > 0$ 且 $f_{xx} < 0$，所以函数在 $(2, -2)$ 处有 局部最大值。

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4. 求极值点处的函数值

将 $(2, -2)$ 代入原函数 $f(x, y)$： $f(2, -2) = 4(2 - (-2)) - 2^2 - (-2)^2 = 4 \cdot 4 - 4 - 4 = 16 - 8 = 8$

因此，函数在点 $(2, -2)$ 处取得极大值 $8$。

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最终结论：

函数 $f(x, y) = 4(x - y) - x^2 - y^2$ 在点 $(2, -2)$ 处有局部最大值，最大值为 $8$。

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拓展问题：

1. 如何计算更多变量函数的极值点？
2. 为什么判别式 $D$ 能够判断极值性质？
3. 是否可以通过拉格朗日乘数法来处理约束优化问题？
4. 如果添加约束 $g(x, y) = 0$，该如何求解？
5. 如何通过图形化方式分析函数的极值？

小提示：验证极值时，利用二阶导数法可以高效判断，但对于边界问题要单独分析。