Найдем экстремумы функции $f(x, y) = x^2 + y^2 - 4x - 6y + 10$ с помощью методов нахождения критических точек.

1. Найдем частные производные:

$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 2x - 4, \quad f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 2y - 6.$

2. Найдем критические точки:

Критические точки находятся при условии равенства частных производных нулю: $f_x = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2,$ $f_y = 0 \quad \Rightarrow \quad 2y - 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = 3.$

Таким образом, критическая точка — это $(x, y) = (2, 3)$.

3. Проверим характер критической точки:

Для этого используем матрицу Гессе, которая состоит из вторых частных производных:

\begin{bmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{bmatrix}.$$ Вторые производные: $$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2, \quad f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 2, \quad f_{xy} = f_{yx} = 0.$$ Подставим их в матрицу Гессе: $$H = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}.$$ Детерминант матрицы Гессе: $$\det(H) = (2)(2) - (0)(0) = 4 > 0.$$ Так как $$\det(H) > 0$$ и $$f_{xx} > 0$$, точка $$(2, 3)$$ является **точкой минимума**. ### 4. Найдем значение функции в точке экстремума: Подставим $$(x, y) = (2, 3)$$ в исходную функцию: $$f(2, 3) = 2^2 + 3^2 - 4 \cdot 2 - 6 \cdot 3 + 10 = 4 + 9 - 8 - 18 + 10 = -3.$$ ### Ответ: Экстремум функции $$f(x, y)$$ достигается в точке $$(2, 3)$$, и это точка **минимума**. Значение функции в этой точке: $$f(2, 3) = -3$$. --- Хотите больше подробностей или есть вопросы? 😊 --- ### 5 дополнительных вопросов: 1. Как определить, является ли экстремум минимумом или максимумом? 2. Что такое матрица Гессе и как ее использовать? 3. Почему точка $$(2, 3)$$ называется критической? 4. Как найти экстремумы функции с дополнительными ограничениями (например, методом Лагранжа)? 5. Какие существуют методы анализа функций с большим числом переменных? --- ### Совет: Всегда проверяйте характер критической точки (минимум, максимум или седловая точка) с помощью детерминанта матрицы Гессе.