Untuk mencari nilai ekstrem (minimum dan maksimum) dari fungsi $f(x, y) = x^2 + y^2$ dengan kendala $g(x, y) = x + 4y - 17 = 0$, kita bisa menggunakan metode Lagrange multiplier.

Langkah-langkah penyelesaiannya:

1. Tentukan fungsi Lagrange: Kita buat fungsi Lagrange $\mathcal{L}(x, y, \lambda)$ sebagai berikut: $\mathcal{L}(x, y, \lambda) = f(x, y) - \lambda (g(x, y)) = x^2 + y^2 - \lambda (x + 4y - 17)$

2. Cari turunan parsial dari $\mathcal{L}$: Kita cari turunan parsial dari $\mathcal{L}$ terhadap $x$, $y$, dan $\lambda$: $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 2x - \lambda = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda = 2x$ $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 2y - 4\lambda = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda = \frac{y}{2}$ $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = -(x + 4y - 17) = 0 \quad \Rightarrow \quad x + 4y = 17$

3. Selesaikan sistem persamaan: Dari dua persamaan $\lambda = 2x$ dan $\lambda = \frac{y}{2}$, kita setarakan: $2x = \frac{y}{2} \quad \Rightarrow \quad y = 4x$

   Substitusikan $y = 4x$ ke persamaan kendala $x + 4y = 17$: $x + 4(4x) = 17 \quad \Rightarrow \quad x + 16x = 17 \quad \Rightarrow \quad 17x = 17 \quad \Rightarrow \quad x = 1$

   Substitusikan $x = 1$ ke $y = 4x$, maka: $y = 4(1) = 4$

4. Hitung nilai fungsi $f(x, y)$: Sekarang, substitusikan $x = 1$ dan $y = 4$ ke fungsi $f(x, y) = x^2 + y^2$: $f(1, 4) = 1^2 + 4^2 = 1 + 16 = 17$

Kesimpulan:

Nilai ekstrem dari fungsi $f(x, y) = x^2 + y^2$ dengan kendala $g(x, y) = x + 4y - 17 = 0$ adalah minimum sebesar 17, yang dicapai di titik $(1, 4)$. Karena fungsi kuadrat ini selalu positif dan berbentuk parabola terbuka ke atas, maka tidak ada nilai maksimum yang terbatas.

---

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan?

Berikut 5 pertanyaan terkait:

1. Apa peran metode Lagrange multiplier dalam mencari nilai ekstrem fungsi dengan kendala?
2. Bagaimana kita bisa menyelesaikan sistem persamaan dari turunan parsial pada metode Lagrange?
3. Bagaimana kita tahu bahwa solusi yang ditemukan adalah nilai minimum?
4. Bagaimana jika fungsi yang diberikan tidak berbentuk kuadrat?
5. Bagaimana cara menyelesaikan sistem yang lebih kompleks dengan banyak variabel?

Tip: Metode Lagrange sangat efektif untuk menyelesaikan masalah optimasi dengan kendala, terutama ketika fungsi memiliki lebih dari dua variabel.