Sea C = {(2, 1, 4),(1, −1, 3),(3, −1, 1)}. Exprese el vector (2, 2, 3) como combinación lineal de los
elementos de C.

Para expresar el vector \((2, 2, 3)\) como una combinación lineal de los elementos de \( C \), debemos encontrar los escalares \(a\), \(b\) y \(c\) tales que:

\[ a(2, 1, 4) + b(1, -1, 3) + c(3, -1, 1) = (2, 2, 3) \]

Esto se traduce en el siguiente sistema de ecuaciones:

1. \(2a + b + 3c = 2\)
2. \(a - b - c = 2\)
3. \(4a + 3b + c = 3\)

Vamos a resolver este sistema de ecuaciones.

Primero, escribimos el sistema en forma de matriz aumentada:

\[
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 3 & | & 2 \\
1 & -1 & -1 & | & 2 \\
4 & 3 & 1 & | & 3 \\
\end{pmatrix}
\]

Usaremos eliminación gaussiana para resolver el sistema. Empezamos por la primera fila:

1. Multiplicamos la primera fila por 1/2 para hacer que el primer elemento de la primera fila sea 1:

\[
\begin{pmatrix}
1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & | & 1 \\
1 & -1 & -1 & | & 2 \\
4 & 3 & 1 & | & 3 \\
\end{pmatrix}
\]

2. Restamos la primera fila de la segunda fila y 4 veces la primera fila de la tercera fila:

\[
\begin{pmatrix}
1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & | & 1 \\
0 & -\frac{3}{2} & -\frac{5}{2} & | & 1 \\
0 & 1 & -5 & | & -1 \\
\end{pmatrix}
\]

3. Multiplicamos la segunda fila por -2/3 para que el elemento principal de la segunda fila sea 1:

\[
\begin{pmatrix}
1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & | & 1 \\
0 & 1 & \frac{5}{3} & | & -\frac{2}{3} \\
0 & 1 & -5 & | & -1 \\
\end{pmatrix}
\]

4. Restamos la segunda fila de la tercera fila:

\[
\begin{pmatrix}
1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & | & 1 \\
0 & 1 & \frac{5}{3} & | & -\frac{2}{3} \\
0 & 0 & -\frac{20}{3} & | & -\frac{1}{3} \\
\end{pmatrix}
\]

5. Simplificamos la tercera fila dividiendo por -20/3:

\[
\begin{pmatrix}
1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & | & 1 \\
0 & 1 & \frac{5}{3} & | & -\frac{2}{3} \\
0 & 0 & 1 & | & \frac{1}{20} \\
\end{pmatrix}
\]

6. Restamos \(\frac{5}{3}\) veces la tercera fila de la segunda fila y \(\frac{3}{2}\) veces la tercera fila de la primera fila:

\[
\begin{pmatrix}
1 & \frac{1}{2} & 0 & | & \frac{9}{10} \\
0 & 1 & 0 & | & -\frac{13}{30} \\
0 & 0 & 1 & | & \frac{1}{20} \\
\end{pmatrix}
\]

7. Restamos \(\frac{1}{2}\) veces la segunda fila de la primera fila:

\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & | & \frac{6}{5} \\
0 & 1 & 0 & | & -\frac{13}{30} \\
0 & 0 & 1 & | & \frac{1}{20} \\
\end{pmatrix}
\]

Finalmente, los valores de \(a\), \(b\) y \(c\) son:

\[ a = \frac{6}{5}, \quad b = -\frac{13}{30}, \quad c = \frac{1}{20} \]

Por lo tanto, el vector \((2, 2, 3)\) se puede expresar como combinación lineal de los elementos de \(C\):

\[ \left(2, 2, 3\right) = \frac{6}{5}(2, 1, 4) - \frac{13}{30}(1, -1, 3) + \frac{1}{20}(3, -1, 1) \]

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes algunas preguntas que puedes hacer:
1. ¿Cómo se resuelven sistemas de ecuaciones lineales con más de tres variables?
2. ¿Qué es una base de un espacio vectorial?
3. ¿Cómo se verifica si un conjunto de vectores es linealmente independiente?
4. ¿Cómo se encuentra la matriz inversa usando eliminación gaussiana?
5. ¿Qué es el rango de una matriz?

**Tip:** Siempre verifica tus soluciones sustituyendo los valores encontrados en las ecuaciones originales.

Learn how to express the vector (2, 2, 3) as a linear combination of the vectors in the given set using Gaussian elimination. This problem involves solving a system of linear equations and matrix operations. Suitable for university-level students studying linear algebra.

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