Sea C = {(2, 1, 4), (1, −1, 3), (3, −1, 1)} . Exprese el vector (2, 2, 3) como combinación lineal de los elementos de C

me podes ayudar como soluciono este problema , esto es lo que yo tengo por el momento:
2c1+c2+3c3,c1-c2-c3, 4c1+3c2+c3=(2,2,3)

2c1+c2+3c3=2
c1-c2-c3=2
4c1+3c2+c3=3

Para expresar el vector \( (2, 2, 3) \) como una combinación lineal de los elementos de \( C = \{(2, 1, 4), (1, -1, 3), (3, -1, 1)\} \), necesitamos encontrar los coeficientes \( a, b, c \) tales que:

\[ a(2, 1, 4) + b(1, -1, 3) + c(3, -1, 1) = (2, 2, 3) \]

Esto se traduce en el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

\[
\begin{cases}
2a + b + 3c = 2 \\
a - b - c = 2 \\
4a + 3b + c = 3
\end{cases}
\]

Para resolver este sistema, podemos usar métodos como la eliminación gaussiana. Primero, escribimos el sistema en forma de matriz aumentada:

\[
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 3 & | & 2 \\
1 & -1 & -1 & | & 2 \\
4 & 3 & 1 & | & 3
\end{pmatrix}
\]

**Paso 1: Hacer cero el elemento debajo del pivote en la primera columna:**

Restamos 2 veces la primera fila de la tercera fila:

\[
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 3 & | & 2 \\
1 & -1 & -1 & | & 2 \\
4 - 2(2) & 3 - 2(1) & 1 - 2(3) & | & 3 - 2(2) \\
4 - 4 & 3 - 2 & 1 - 6 & | & 3 - 4 \\
0 & 1 & -5 & | & -1 \\
\end{pmatrix}
\]

\[
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 3 & | & 2 \\
1 & -1 & -1 & | & 2 \\
0 & 1 & -5 & | & -1 \\
\end{pmatrix}
\]

**Paso 2: Hacer cero el elemento debajo del pivote en la segunda columna:**

Sumamos la segunda fila a la primera fila multiplicada por -1:

\[
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 3 & | & 2 \\
1 & -1 & -1 & | & 2 \\
0 & 1 & -5 & | & -1 \\
\end{pmatrix}
\]

**Paso 3: Hacer cero el elemento debajo del pivote en la tercera columna:**

Restamos la tercera fila multiplicada por 1 a la segunda fila:

\[
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 3 & | & 2 \\
0 & -2 & -4 & | & 0 \\
0 & 0 & -6 & | & 0 \\
\end{pmatrix}
\]

Resolviendo esto obtenemos:

\[
c = 0
\]

Sustituimos \( c \) en la segunda ecuación:

\[
a - b = 2
\]

Sustituimos \( a \) y \( b \) en la primera ecuación:

\[
2a + b = 2
\]

Solución:

\[
a = 1, b = 1, c = 0
\]

El vector \( (2, 2, 3) \) se puede expresar como la combinación lineal de los elementos de \( C \) de la siguiente manera:

\[ (2, 2, 3) = 1(2, 1, 4) + 1(1, -1, 3) + 0(3, -1, 1) \]

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas más que podrías querer hacer:

1. ¿Cómo se hace una combinación lineal de vectores?
2. ¿Qué es la eliminación gaussiana?
3. ¿Cómo se representan los sistemas de ecuaciones en forma de matriz?
4. ¿Qué otras técnicas existen para resolver sistemas de ecuaciones lineales?
5. ¿Cómo se verifica la solución de un sistema de ecuaciones?

**Tip:** Al resolver sistemas de ecuaciones, es útil revisar los pasos de eliminación para asegurarse de que no haya errores en la manipulación de las ecuaciones.

Learn how to express the vector (2, 2, 3) as a linear combination of vectors from the set C = {(2, 1, 4), (1, -1, 3), (3, -1, 1)}. This problem involves solving a system of linear equations using Gaussian elimination method and matrix operations.

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