Aufgabe b) Analyse der Funktion $f(x) = e^{x^2}$

(1) Wertemenge der Funktion $f$:

Die gegebene Funktion lautet: $f(x) = e^{x^2}$

• Eigenschaften von $e^{x^2}$:

  • Der Exponentialterm $e^{x^2}$ ist immer positiv, da $e^z > 0$ für alle $z \in \mathbb{R}$.
  • $x^2$ ist für alle $x \in \mathbb{R}$ nicht negativ, daher gilt $x^2 \geq 0$.
  • Der kleinste Wert von $e^{x^2}$ tritt auf, wenn $x = 0$, und ist $f(0) = e^0 = 1$.

• Wertemenge $W_f$: $W_f = \{ y \in \mathbb{R} \,|\, y > 0 \} = (1, \infty)$

(2) Schnittpunkt der Graphen von $f$ und $f'$:

Die Ableitung der Funktion ist gegeben: $f'(x) = 2x \cdot f(x) = 2x \cdot e^{x^2}$

Schnittpunkt der Graphen $f$ und $f'$:

Wir setzen $f(x) = f'(x)$: $e^{x^2} = 2x \cdot e^{x^2}$

Teilen durch $e^{x^2}$ (da $e^{x^2} > 0$): $1 = 2x$

Lösen nach $x$: $x = \frac{1}{2}$

Steigung des Graphen von $f$ an diesem Punkt:

Der Punkt, an dem sich die Graphen schneiden, ist bei $x = \frac{1}{2}$. Um die Steigung zu berechnen, bestimmen wir $f'(x)$ an diesem Punkt: $f'(x) = 2x \cdot e^{x^2}$

Einsetzen von $x = \frac{1}{2}$: $f'\left(\frac{1}{2}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot e^{\left(\frac{1}{2}\right)^2}$ $f'\left(\frac{1}{2}\right) = 1 \cdot e^{\frac{1}{4}}$

Die Steigung des Graphen von $f$ im Schnittpunkt ist also: $\text{Steigung} = e^{\frac{1}{4}}$

Zusammenfassung:

1. Wertemenge der Funktion $f(x)$: $W_f = (1, \infty)$

2. Schnittpunkt und Steigung:

   • Der Schnittpunkt der Graphen von $f$ und $f'$ liegt bei $x = \frac{1}{2}$.
   • Die Steigung von $f$ an diesem Punkt beträgt: $\text{Steigung} = e^{\frac{1}{4}}$

Haben Sie dazu Fragen oder wünschen eine detailliertere Erklärung?

5 Verwandte Fragen:

1. Wie bestimmt man die Wertemenge von Exponentialfunktionen allgemein?
2. Warum ist die Funktion $e^{x^2}$ immer positiv?
3. Wie berechnet man den Schnittpunkt einer Funktion mit ihrer Ableitung?
4. Was sind die Eigenschaften der Ableitungsfunktion $f'(x) = 2x \cdot e^{x^2}$?
5. Wie interpretiert man die Steigung einer Funktion an einem bestimmten Punkt?

Tipp:

Wenn eine Funktion einen Schnittpunkt mit ihrer Ableitungsfunktion hat, bedeutet dies, dass die Steigung des Funktionsgraphen gleich dem Funktionswert an diesem Punkt ist.