¡Con mucho gusto! Vamos a resolver los ejercicios por partes. A continuación, comienzo con las primeras instrucciones y resolveré los ejercicios paso a paso.

Parte 1: En los problemas 1 a 4, escriba la expresión con exponentes positivos.

Problema 1: $8 \cdot 8 \cdot 8$

Este es un producto de tres veces el número 8, lo que equivale a: $8^3$

Problema 2: $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$

Este es un producto de cuatro veces el número 3, lo que equivale a: $3^4$

Problema 3: $2y \cdot 2y \cdot 2y \cdot 2y$

Este es un producto de cuatro veces $2y$, lo que equivale a: $(2y)^4$

Problema 4: $\frac{1}{m} \cdot \frac{1}{m} \cdot \frac{1}{m}$

Este es un producto de tres veces $\frac{1}{m}$, lo que equivale a: $\left(\frac{1}{m}\right)^3$

Parte 2: En los problemas 5 a 8, escriba la expresión con exponentes negativos.

Problema 5: $\frac{1}{4^5}$

De acuerdo con las reglas de exponentes negativos, cualquier base en el denominador se puede escribir en el numerador con exponente negativo: $4^{-5}$

Problema 6: $\frac{x^2}{y^7}$

Escribir $y^7$ en el denominador como un exponente negativo: $x^2 \cdot y^{-7}$

Problema 7: $\frac{1}{r^2}$

Usamos el mismo principio que en el problema 5: $r^{-2}$

Problema 8: $\left(\frac{1}{t}\right)^2$

Aplicamos la regla de exponente negativo: $t^{-2}$

Parte 3: En los problemas 9 a 14, resuelva los números indicados.

Problema 9a: $3^4$

$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$

Problema 9b: $3^{-4}$

Para un exponente negativo, tomamos el recíproco de la base: $3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81}$

Problema 9c: $(-3)^4$

Multiplicamos $-3$ cuatro veces: $(-3)^4 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 81$

Problema 10a: $\left(\frac{1}{3}\right)^3$

Multiplicamos $\frac{1}{3}$ tres veces: $\left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{27}$

Problema 10b: $\left(\frac{1}{3}\right)^{-3}$

Aplicamos la regla del exponente negativo, lo que nos lleva al recíproco de $\frac{1}{3}$: $\left(\frac{1}{3}\right)^{-3} = 3^3 = 27$

Estos son los primeros problemas resueltos. ¿Te gustaría que continúe con el resto de los problemas o te gustaría profundizar en alguno de los ya resueltos?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas que te pueden ayudar a expandir este tema:

1. ¿Cómo podemos usar las propiedades de los exponentes para simplificar una expresión más compleja?
2. ¿Qué sucede cuando una base negativa tiene un exponente impar?
3. ¿Cuál es la diferencia entre una fracción elevada a un exponente negativo y una fracción elevada a un exponente positivo?
4. ¿Cómo se aplica el recíproco al trabajar con exponentes negativos?
5. ¿Qué otras reglas de exponentes te parecen útiles para resolver operaciones con fracciones?

Tip: Cuando resuelvas expresiones con exponentes negativos, recuerda que cambiar el signo del exponente significa mover el término entre el numerador y el denominador.