A distribuição exponencial é frequentemente usada para modelar o tempo entre eventos, e sua função de densidade de probabilidade é dada por:

$f(t) = \lambda e^{-\lambda t}, \quad t \geq 0$

onde $\lambda$ é a taxa, que é o inverso da média. Como a média é $\mu = 2$ horas, temos que $\lambda = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{2}$.

A probabilidade de o tempo de reparo ser maior que um valor $t_0$ é dada por:

$P(T > t_0) = e^{-\lambda t_0}$

Agora, vamos calcular cada parte:

a) Qual a probabilidade de o tempo de reparo ser maior que 2 horas?

$P(T > 2) = e^{-\lambda \cdot 2} = e^{-\frac{1}{2} \cdot 2} = e^{-1}$

O valor de $e^{-1}$ é aproximadamente $0.3679$.

Logo,

$P(T > 2) \approx 0.3679$

Ou seja, a probabilidade de o tempo de reparo ser maior que 2 horas é aproximadamente 36,79%.

b) Qual a probabilidade de o tempo de reparo ser maior que 10 horas?

$P(T > 10) = e^{-\lambda \cdot 10} = e^{-\frac{1}{2} \cdot 10} = e^{-5}$

O valor de $e^{-5}$ é aproximadamente $0.0067$.

Logo,

$P(T > 10) \approx 0.0067$

Ou seja, a probabilidade de o tempo de reparo ser maior que 10 horas é aproximadamente 0,67%.

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Você gostaria de mais detalhes ou tem alguma pergunta?

Aqui estão 5 perguntas relacionadas para expandir seu entendimento:

1. Como interpretar a taxa $\lambda$ em uma distribuição exponencial?
2. Como a média de uma distribuição exponencial afeta sua variância?
3. Quais outras aplicações práticas da distribuição exponencial além do tempo de reparo?
4. Qual a relação entre a distribuição exponencial e a distribuição de Poisson?
5. Como calcular a probabilidade de um tempo de reparo ser menor que um determinado valor?

Dica: A distribuição exponencial é "sem memória", ou seja, a probabilidade de um evento ocorrer em mais tempo independe de quanto tempo já passou!