O tempo (em horas necessário para o reparo de uma máquina tem distribuição exponencial com média 2. a Qual a probabilidade do tempo de reparo ser maior do que

2 horas? b) Qual é a probabilidade do reparo durar mais de 10 horas?

A distribuição exponencial é frequentemente usada para modelar o tempo entre eventos, e sua função de densidade de probabilidade é dada por:

\[
f(t) = \lambda e^{-\lambda t}, \quad t \geq 0
\]

onde \( \lambda \) é a taxa, que é o inverso da média. Como a média é \( \mu = 2 \) horas, temos que \( \lambda = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{2} \).

A probabilidade de o tempo de reparo ser maior que um valor \( t_0 \) é dada por:

\[
P(T > t_0) = e^{-\lambda t_0}
\]

Agora, vamos calcular cada parte:

### a) Qual a probabilidade de o tempo de reparo ser maior que 2 horas?

\[
P(T > 2) = e^{-\lambda \cdot 2} = e^{-\frac{1}{2} \cdot 2} = e^{-1}
\]

O valor de \( e^{-1} \) é aproximadamente \( 0.3679 \).

Logo,

\[
P(T > 2) \approx 0.3679
\]

Ou seja, a probabilidade de o tempo de reparo ser maior que 2 horas é aproximadamente **36,79%**.

### b) Qual a probabilidade de o tempo de reparo ser maior que 10 horas?

\[
P(T > 10) = e^{-\lambda \cdot 10} = e^{-\frac{1}{2} \cdot 10} = e^{-5}
\]

O valor de \( e^{-5} \) é aproximadamente \( 0.0067 \).

Logo,

\[
P(T > 10) \approx 0.0067
\]

Ou seja, a probabilidade de o tempo de reparo ser maior que 10 horas é aproximadamente **0,67%**.

---

Você gostaria de mais detalhes ou tem alguma pergunta? 

Aqui estão 5 perguntas relacionadas para expandir seu entendimento:

1. Como interpretar a taxa \( \lambda \) em uma distribuição exponencial?
2. Como a média de uma distribuição exponencial afeta sua variância?
3. Quais outras aplicações práticas da distribuição exponencial além do tempo de reparo?
4. Qual a relação entre a distribuição exponencial e a distribuição de Poisson?
5. Como calcular a probabilidade de um tempo de reparo ser menor que um determinado valor?

**Dica**: A distribuição exponencial é "sem memória", ou seja, a probabilidade de um evento ocorrer em mais tempo independe de quanto tempo já passou!

O tempo (em horas) necessário para o reparo de uma máquina tem distribuição exponencial com média 2. a) Qual a probabilidade do tempo de reparo ser maior do que 2 horas? b) Qual é a probabilidade do reparo durar mais de 10 horas?

Explore how to calculate the probability of machine repair times using the exponential distribution. This problem addresses key probability concepts, such as calculating the likelihood of repair times exceeding 2 and 10 hours with detailed steps and formulas. Suitable for advanced high school or undergraduate students.

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