متن سوال شما به صورت زیر است:

"اگر X و Y نقاط تصادفی مستقل از بازه (-1, 1) باشند، مقدار $E[\text{max}(X, Y)]$ را بیابید."

برای حل این مسئله:

قدم اول: تعریف $X$ و $Y$

متغیرهای تصادفی $X$ و $Y$ هر کدام در بازه $(-1, 1)$ به طور یکنواخت توزیع شده‌اند. تابع چگالی احتمال $f_X(x)$ و $f_Y(y)$ به صورت زیر است: $f_X(x) = f_Y(y) = \frac{1}{2}, \quad x, y \in [-1, 1]$

قدم دوم: مقداردهی $\text{max}(X, Y)$

$\text{max}(X, Y)$ نشان‌دهنده مقدار بزرگ‌تر بین $X$ و $Y$ است. انتظار این مقدار به صورت زیر تعریف می‌شود: $E[\text{max}(X, Y)] = \int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \text{max}(x, y) f_X(x) f_Y(y) \, dx \, dy$

چون $f_X(x)$ و $f_Y(y)$ مستقل هستند، چگالی احتمال مشترک به صورت حاصل‌ضرب نوشته می‌شود: $f_{X,Y}(x, y) = f_X(x) \cdot f_Y(y) = \frac{1}{4}$

قدم سوم: تفکیک بازه‌ها

برای محاسبه $\text{max}(x, y)$، باید بازه‌های مختلف $x$ و $y$ بررسی شود. تفکیک بازه‌ها به صورت زیر است:

1. وقتی $x > y$، مقدار $\text{max}(x, y) = x$
2. وقتی $y > x$، مقدار $\text{max}(x, y) = y$

بنابراین: $E[\text{max}(X, Y)] = \int_{-1}^1 \int_{-1}^x x \cdot f_{X,Y}(x, y) \, dy \, dx + \int_{-1}^1 \int_{x}^1 y \cdot f_{X,Y}(x, y) \, dy \, dx$

قدم چهارم: محاسبه انتگرال

محاسبات به صورت زیر انجام می‌شود:

1. قسمت اول: $x > y$ $\int_{-1}^1 \int_{-1}^x x \cdot \frac{1}{4} \, dy \, dx = \int_{-1}^1 x \cdot \frac{1}{4} \cdot (x - (-1)) \, dx = \int_{-1}^1 x \cdot \frac{1}{4} \cdot (x + 1) \, dx$ $= \frac{1}{4} \int_{-1}^1 (x^2 + x) \, dx = \frac{1}{4} \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^1$ [ = \frac{1}{4} \left( \left[\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\right] - \left[-\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\right] \right) = \frac{1}{4} \left(\frac{5}{6} + \frac{1}{6}\right) = \frac{1}{2} ]

2. قسمت دوم: $y > x$ محاسبه به صورت مشابه انجام می‌شود و نتیجه باز هم $\frac{1}{2}$ است.

قدم نهایی: جمع دو مقدار

$E[\text{max}(X, Y)] = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{2}{3}$

نتیجه نهایی:

$E[\text{max}(X, Y)] = \frac{2}{3}$

اگر سوال یا جزئیات بیشتری نیاز دارید، بفرمایید.

سوالات مرتبط:

1. چگونه توزیع یکنواخت روی بازه‌ها تعریف می‌شود؟
2. چرا چگالی احتمال در این بازه‌ها مستقل فرض شد؟
3. آیا می‌توان توزیع دیگری برای $X$ و $Y$ در نظر گرفت؟
4. چگونه می‌توان انتگرال دوگانه را به صورت عددی محاسبه کرد؟
5. مفهوم انتظارات در احتمال چگونه در عمل به کار می‌رود؟

یک نکته:

هنگام حل مسائل انتظارات، توجه به حدود بازه‌ها و تفکیک آنها می‌تواند محاسبات را ساده‌تر کند.