Voici une synthèse des concepts abordés sur l'espérance et la variance des variables aléatoires (v.a.r.) :

Espérance (ou moment d'ordre 1)

L'espérance d'une variable aléatoire $X$, notée $\mathbb{E}(X)$, est une mesure de la tendance centrale ou de la moyenne attendue de $X$. Elle est définie comme le moment d'ordre 1.

Variance (ou moment d'ordre 2)

La variance d'une variable aléatoire $X$, notée $\text{Var}(X)$, est le moment d'ordre 2 de $X - \mathbb{E}(X)$. Elle mesure la dispersion des valeurs de $X$ autour de son espérance.

Propriétés de l'espérance et de la variance

1. Linéarité de l'espérance : Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires d'espérance finie, et $\alpha$ et $\beta$ deux réels. Alors, on a : $\mathbb{E}(\alpha X + \beta Y) = \alpha \mathbb{E}(X) + \beta \mathbb{E}(Y).$

2. Propriétés de la variance : Pour une variable aléatoire $X$ de variance finie et un réel $\alpha$, les propriétés suivantes sont vérifiées :

   • $X$ admet une espérance finie.
   • $\text{Var}(X) \geq 0$, c'est-à-dire que la variance est toujours positive ou nulle.
   • Si $\text{Var}(X) = 0$, alors $X = \mathbb{E}(X)$ presque sûrement (p.s.), ce qui signifie que $X$ est une constante.
   • La formule de calcul de la variance est : $\text{Var}(X) = \mathbb{E}(X^2) - \mathbb{E}(X)^2.$
   • Pour une constante $\alpha$, on a : $\text{Var}(\alpha X) = \alpha^2 \text{Var}(X).$
   • Si on ajoute une constante $\alpha$ à $X$, la variance reste inchangée : $\text{Var}(X + \alpha) = \text{Var}(X).$

Ces propriétés sont fondamentales en probabilités et permettent de manipuler facilement les expressions de moments et de dispersion des variables aléatoires.

Voulez-vous plus de détails sur ces concepts ou avez-vous des questions ?

Questions pour approfondir :

1. Comment peut-on interpréter géométriquement l'espérance d'une variable aléatoire ?
2. Pourquoi la variance est-elle toujours positive ou nulle ?
3. Comment prouver la formule de la variance $\text{Var}(X) = \mathbb{E}(X^2) - \mathbb{E}(X)^2$ ?
4. Quel est l'effet d'une transformation affine (comme $\alpha X + \beta$) sur l'espérance et la variance ?
5. Pouvez-vous donner un exemple pratique où la propriété $\text{Var}(\alpha X) = \alpha^2 \text{Var}(X)$ est utilisée ?

Tip :

Pour calculer la variance efficacement, il est souvent plus facile d'utiliser la formule $\text{Var}(X) = \mathbb{E}(X^2) - \mathbb{E}(X)^2$, car elle simplifie la manipulation des valeurs au carré de la variable aléatoire.