Considere la siguiente integral, medida en radianes, integral subíndice fracción normal pi entre 2 fin subíndice superíndice normal pi abrir paréntesis 7 más cos abrir paréntesis 5 espacio x cerrar paréntesis cerrar paréntesis espacio d x El valor exacto de la integral es

Consideremos la siguiente integral:

\[
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \left( 7 + \cos(5x) \right) dx
\]

Para resolverla, descompondremos la integral en dos partes, ya que la integral es una suma de dos términos:

\[
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} 7 \, dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos(5x) \, dx
\]

### Primera parte: \(\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} 7 \, dx\)
Esta es una integral de una constante. La integral de una constante \(7\) con respecto a \(x\) es \(7x\). Evaluando en los límites de integración:

\[
7 \cdot \left[x\right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = 7 \cdot \left(\pi - \frac{\pi}{2}\right) = 7 \cdot \frac{\pi}{2}
\]

### Segunda parte: \(\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos(5x) \, dx\)
La integral de \(\cos(5x)\) es \(\frac{\sin(5x)}{5}\). Evaluando en los límites de integración:

\[
\frac{\sin(5x)}{5} \Bigg|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = \frac{1}{5} \left(\sin(5\pi) - \sin\left(5 \cdot \frac{\pi}{2}\right)\right)
\]

Sabemos que:
- \(\sin(5\pi) = 0\)
- \(\sin\left(5 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = -1\)

Por lo tanto:

\[
\frac{1}{5} \left( 0 - (-1) \right) = \frac{1}{5}
\]

### Resultado final
Sumando ambas partes obtenemos el valor exacto de la integral:

\[
\frac{7\pi}{2} + \frac{1}{5}
\]

Este es el valor exacto de la integral.

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna otra pregunta? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas para profundizar en el tema:

1. ¿Cómo se calcula la integral de funciones trigonométricas como \(\cos(x)\)?
2. ¿Qué sucede cuando cambias los límites de integración en una integral definida?
3. ¿Cómo afecta una constante multiplicada por una función a la integral?
4. ¿Cuáles son otras aplicaciones de las integrales en problemas físicos?
5. ¿Cómo se resuelven integrales indefinidas con funciones trigonométricas?

**Tip:** Al resolver integrales de funciones trigonométricas, es útil recordar las identidades trigonométricas y los valores clave de \(\sin\) y \(\cos\) en puntos específicos.

Discover the exact value of the integral ∫(7 + cos(5x)) dx from π/2 to π. Detailed step-by-step solution includes integrating constants and trigonometric functions. Suitable for university-level students and those interested in integral calculus.

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