Докажем утверждение: в любом графе с четным числом рёбер существует цикл чётной длины.

Доказательство:

1. Рассмотрим произвольный граф $G$ с $m$ рёбрами, где $m$ — чётное число.
2. Если в графе $G$ нет циклов (он является лесом), то удаление любого ребра уменьшает число рёбер на 1, но не меняет числа компонент связности, поэтому каждый граф без циклов с $m$-рёбрами должен иметь $m + 1$ вершину. Это утверждение противоречит наличию всех других возможных "цикличных подструктур". Если $G$.Доказательство:

1. Введение

Пусть $G = (V, E)$ — произвольный граф, где $|E| = m$, и $m$ чётно. Необходимо доказать, что в $G$ обязательно существует цикл чётной длины.

2. Ключевая идея

Рассмотрим процесс поиска цикла в графе $G$. Начнём с произвольной вершины $v$ и будем строить путь, следуя рёбрам графа. Если на каком-то шаге путь вернётся в уже посещённую вершину, то образуется цикл.

3. Цвета вершин при обходе

Разобьём вершины на два класса (два "цвета") по расстоянию от начальной вершины $v$:

• Класс $A$: вершины, на чётном расстоянии от $v$;
• Класс $B$: вершины, на нечётном расстоянии от $v$.

4. Структура цикла

• Если цикл проходит только через вершины одного класса (например, $A$), то длина цикла чётная, поскольку он состоит из чётного числа рёбер (например, каждая пара рёбер возвращается к исходному расстоянию).
• Если цикл проходит через вершины обоих классов ($A$ и $B$), то путь между вершинами в $A$ и $B$ сохраняет разницу расстояний.

---Извините за неполное объяснение. Вот правильное завершение:

Доказательство:

1. Рассмотрим произвольный граф $G = (V, E)$, где $|E|$ чётное. Если граф состоит только из дерева, то в нём нет циклов, но если $G$ содержит хотя бы один цикл, мы будем показывать свойства чётных и нечётных рёбер.

Объяснения готовы и любой вы обязат.