Nous avons à évaluer la limite suivante :

$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^9 + x^5 + 1}{e^x}.$

Analyse

1. Comportement du numérateur et du dénominateur :

   • Le numérateur $x^9 + x^5 + 1$ est un polynôme. Pour $x \to +\infty$, le terme dominant est $x^9$, donc $x^9 + x^5 + 1 \sim x^9$.
   • Le dénominateur $e^x$ croît de façon exponentielle et beaucoup plus rapidement que tout polynôme, y compris $x^9$.

2. Rapport entre $x^9$ et $e^x$ :

   • Lorsque $x \to +\infty$, le rapport entre $x^9$ (terme dominant du numérateur) et $e^x$ tend vers $0$ car une fonction exponentielle domine toute puissance de $x$.

Calcul de la limite

$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^9 + x^5 + 1}{e^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^9}{e^x} + \lim_{x \to +\infty} \frac{x^5}{e^x} + \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{e^x}.$

Chaque terme séparé tend vers $0$ car la croissance exponentielle de $e^x$ écrase les termes polynomiaux. Donc :

$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^9 + x^5 + 1}{e^x} = 0.$

Conclusion

La valeur de la limite est :

$\boxed{B. 0.}$

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Souhaitez-vous plus de détails ou des explications supplémentaires ?

Voici 5 questions pour approfondir votre compréhension :

1. Pourquoi l'exponentielle croît-elle plus vite qu'un polynôme ?
2. Comment prouver rigoureusement que $x^n / e^x \to 0$ pour tout $n$ entier positif ?
3. Quelles sont les règles de domination asymptotique entre des fonctions ?
4. Comment généraliser cette limite pour d'autres fonctions du type $\frac{P(x)}{e^x}$ ?
5. Que se passe-t-il si le dénominateur est $e^{kx}$ avec $k < 1$ ?

Tip : Lorsque vous calculez des limites infinies avec des exponentielles, identifiez toujours le terme dominant du numérateur et comparez-le à la croissance du dénominateur.