Tentukan nilai dari lim 𝑥→2  √7𝑥+11− √4𝑥+17 : √5𝑥−1−√3𝑥+3

Untuk menentukan nilai dari limit berikut:

\[
\lim_{{x \to 2}} \frac{\sqrt{7x + 11} - \sqrt{4x + 17}}{\sqrt{5x - 1} - \sqrt{3x + 3}}
\]

kita akan menerapkan teknik rasionalisasi dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugatnya masing-masing.

### Langkah 1: Rasionalisasi Pembilang
Untuk pembilang, kita kalikan dengan konjugatnya:

\[
\frac{\sqrt{7x + 11} - \sqrt{4x + 17}}{\sqrt{5x - 1} - \sqrt{3x + 3}} \times \frac{\sqrt{7x + 11} + \sqrt{4x + 17}}{\sqrt{7x + 11} + \sqrt{4x + 17}}
\]

Pembilang sekarang menjadi:

\[
(\sqrt{7x + 11})^2 - (\sqrt{4x + 17})^2 = (7x + 11) - (4x + 17) = 3x - 6
\]

Jadi, kita memiliki:

\[
\frac{3x - 6}{(\sqrt{5x - 1} - \sqrt{3x + 3})(\sqrt{7x + 11} + \sqrt{4x + 17})}
\]

### Langkah 2: Rasionalisasi Penyebut
Sekarang kita kalikan dengan konjugat dari penyebut:

\[
\frac{3x - 6}{\sqrt{5x - 1} - \sqrt{3x + 3}} \times \frac{\sqrt{5x - 1} + \sqrt{3x + 3}}{\sqrt{5x - 1} + \sqrt{3x + 3}}
\]

Penyebut sekarang menjadi:

\[
(\sqrt{5x - 1})^2 - (\sqrt{3x + 3})^2 = (5x - 1) - (3x + 3) = 2x - 4
\]

Maka, ekspresinya menjadi:

\[
\frac{(3x - 6)(\sqrt{5x - 1} + \sqrt{3x + 3})}{2x - 4}
\]

### Langkah 3: Penyederhanaan
Perhatikan bahwa \(3x - 6\) adalah \(3(x - 2)\) dan \(2x - 4\) adalah \(2(x - 2)\). Faktor \(x - 2\) dapat dicoret dari pembilang dan penyebut.

Jadi:

\[
\lim_{{x \to 2}} \frac{(3(x - 2))(\sqrt{5x - 1} + \sqrt{3x + 3})}{2(x - 2)} = \lim_{{x \to 2}} \frac{3}{2} \times (\sqrt{5x - 1} + \sqrt{3x + 3})
\]

### Langkah 4: Substitusi Nilai \(x = 2\)
Sekarang substitusi \(x = 2\):

\[
\frac{3}{2} \times (\sqrt{5(2) - 1} + \sqrt{3(2) + 3}) = \frac{3}{2} \times (\sqrt{10 - 1} + \sqrt{6 + 3}) = \frac{3}{2} \times (\sqrt{9} + \sqrt{9}) = \frac{3}{2} \times (3 + 3) = \frac{3}{2} \times 6 = 9
\]

### Kesimpulan
Nilai dari limit tersebut adalah \( \boxed{9} \).

Ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lain?  
Berikut 8 pertanyaan terkait yang bisa membantu pemahaman lebih lanjut:
1. Apa itu rasionalisasi dalam limit?
2. Bagaimana cara menemukan konjugat suatu bentuk?
3. Mengapa kita perlu rasionalisasi dalam limit seperti ini?
4. Apa yang terjadi jika kita substitusi langsung tanpa rasionalisasi?
5. Apa peran faktor \(x - 2\) dalam pembilang dan penyebut?
6. Bagaimana jika \(x\) mendekati angka selain 2?
7. Apakah teknik ini dapat diterapkan untuk limit yang melibatkan bentuk lain?
8. Bagaimana cara memverifikasi hasil limit menggunakan metode lain?

**Tip:** Selalu coba substitusi langsung sebelum memutuskan teknik lain dalam menghitung limit.

Learn how to evaluate the limit of a complex fraction involving square roots using rationalization technique. This problem explores limits and rationalization, suitable for advanced high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation