Untuk menentukan nilai dari limit berikut:

$\lim_{{x \to 2}} \frac{\sqrt{7x + 11} - \sqrt{4x + 17}}{\sqrt{5x - 1} - \sqrt{3x + 3}}$

kita akan menerapkan teknik rasionalisasi dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugatnya masing-masing.

Langkah 1: Rasionalisasi Pembilang

Untuk pembilang, kita kalikan dengan konjugatnya:

$\frac{\sqrt{7x + 11} - \sqrt{4x + 17}}{\sqrt{5x - 1} - \sqrt{3x + 3}} \times \frac{\sqrt{7x + 11} + \sqrt{4x + 17}}{\sqrt{7x + 11} + \sqrt{4x + 17}}$

Pembilang sekarang menjadi:

$(\sqrt{7x + 11})^2 - (\sqrt{4x + 17})^2 = (7x + 11) - (4x + 17) = 3x - 6$

Jadi, kita memiliki:

$\frac{3x - 6}{(\sqrt{5x - 1} - \sqrt{3x + 3})(\sqrt{7x + 11} + \sqrt{4x + 17})}$

Langkah 2: Rasionalisasi Penyebut

Sekarang kita kalikan dengan konjugat dari penyebut:

$\frac{3x - 6}{\sqrt{5x - 1} - \sqrt{3x + 3}} \times \frac{\sqrt{5x - 1} + \sqrt{3x + 3}}{\sqrt{5x - 1} + \sqrt{3x + 3}}$

Penyebut sekarang menjadi:

$(\sqrt{5x - 1})^2 - (\sqrt{3x + 3})^2 = (5x - 1) - (3x + 3) = 2x - 4$

Maka, ekspresinya menjadi:

$\frac{(3x - 6)(\sqrt{5x - 1} + \sqrt{3x + 3})}{2x - 4}$

Langkah 3: Penyederhanaan

Perhatikan bahwa $3x - 6$ adalah $3(x - 2)$ dan $2x - 4$ adalah $2(x - 2)$. Faktor $x - 2$ dapat dicoret dari pembilang dan penyebut.

Jadi:

$\lim_{{x \to 2}} \frac{(3(x - 2))(\sqrt{5x - 1} + \sqrt{3x + 3})}{2(x - 2)} = \lim_{{x \to 2}} \frac{3}{2} \times (\sqrt{5x - 1} + \sqrt{3x + 3})$

Langkah 4: Substitusi Nilai $x = 2$

Sekarang substitusi $x = 2$:

$\frac{3}{2} \times (\sqrt{5(2) - 1} + \sqrt{3(2) + 3}) = \frac{3}{2} \times (\sqrt{10 - 1} + \sqrt{6 + 3}) = \frac{3}{2} \times (\sqrt{9} + \sqrt{9}) = \frac{3}{2} \times (3 + 3) = \frac{3}{2} \times 6 = 9$

Kesimpulan

Nilai dari limit tersebut adalah $\boxed{9}$.

Ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lain?
Berikut 8 pertanyaan terkait yang bisa membantu pemahaman lebih lanjut:

1. Apa itu rasionalisasi dalam limit?
2. Bagaimana cara menemukan konjugat suatu bentuk?
3. Mengapa kita perlu rasionalisasi dalam limit seperti ini?
4. Apa yang terjadi jika kita substitusi langsung tanpa rasionalisasi?
5. Apa peran faktor $x - 2$ dalam pembilang dan penyebut?
6. Bagaimana jika $x$ mendekati angka selain 2?
7. Apakah teknik ini dapat diterapkan untuk limit yang melibatkan bentuk lain?
8. Bagaimana cara memverifikasi hasil limit menggunakan metode lain?

Tip: Selalu coba substitusi langsung sebelum memutuskan teknik lain dalam menghitung limit.