Écrire l'équation d'Euler (rho*((DV)/(Dt))=-grad(p)) au long en coordonnées cartésiennes et en coordonnées cylindriques

L'équation d'Euler en mécanique des fluides est exprimée par :

\[
\rho \left( \frac{D \vec{V}}{Dt} \right) = - \nabla p
\]

Où :
- \( \rho \) est la densité du fluide,
- \( \vec{V} \) est le vecteur vitesse du fluide,
- \( p \) est la pression,
- \( \frac{D \vec{V}}{Dt} \) est la dérivée particulaire (ou dérivée substantielle) de la vitesse,
- \( \nabla p \) est le gradient de pression.

### 1. En **coordonnées cartésiennes** (x, y, z)

Dans un système de coordonnées cartésiennes, l'équation d'Euler se décompose de la manière suivante :

#### Composantes de la dérivée matérielle de la vitesse :
\[
\frac{D \vec{V}}{Dt} = \frac{\partial \vec{V}}{\partial t} + \vec{V} \cdot \nabla \vec{V}
\]
En coordonnées cartésiennes, avec \( \vec{V} = (u, v, w) \) où \( u \), \( v \), et \( w \) sont les composantes du vecteur vitesse suivant \( x \), \( y \) et \( z \), nous avons :

\[
\frac{D \vec{V}}{Dt} = \left( \frac{Du}{Dt}, \frac{Dv}{Dt}, \frac{Dw}{Dt} \right)
\]

La dérivée convective est donnée par :
\[
\frac{Du}{Dt} = \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} + w \frac{\partial u}{\partial z}
\]
\[
\frac{Dv}{Dt} = \frac{\partial v}{\partial t} + u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y} + w \frac{\partial v}{\partial z}
\]
\[
\frac{Dw}{Dt} = \frac{\partial w}{\partial t} + u \frac{\partial w}{\partial x} + v \frac{\partial w}{\partial y} + w \frac{\partial w}{\partial z}
\]

#### Gradient de pression :
Le gradient de la pression en coordonnées cartésiennes s'exprime par :
\[
\nabla p = \left( \frac{\partial p}{\partial x}, \frac{\partial p}{\partial y}, \frac{\partial p}{\partial z} \right)
\]

#### Équation d'Euler :
Ainsi, l'équation d'Euler s'écrit pour chaque composante \( x \), \( y \) et \( z \) :

\[
\rho \left( \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} + w \frac{\partial u}{\partial z} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x}
\]
\[
\rho \left( \frac{\partial v}{\partial t} + u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y} + w \frac{\partial v}{\partial z} \right) = - \frac{\partial p}{\partial y}
\]
\[
\rho \left( \frac{\partial w}{\partial t}

Understand how to express Euler's equation of fluid mechanics in both Cartesian and cylindrical coordinates. This includes detailed derivations and explanations of the related vector calculus and partial differential equations concepts. Suitable for undergraduate-level students studying fluid mechanics.

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