Etudier la fonction définie [-5 ; 5] sur par : f(x) = x² + 2x + 5

Pour étudier la fonction \( f(x) = x^2 + 2x + 5 \) définie sur l'intervalle \([-5; 5]\), nous allons suivre plusieurs étapes : déterminer son expression canonique, sa dérivée pour étudier les variations, et calculer les valeurs aux bornes de l'intervalle.

### 1. Expression canonique

La forme canonique d'une fonction quadratique \( ax^2 + bx + c \) est donnée par :

\[
f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta
\]

où :

\[
\alpha = -\frac{b}{2a}, \quad \beta = f(\alpha)
\]

Pour notre fonction \( f(x) = x^2 + 2x + 5 \), nous avons :
- \( a = 1 \), \( b = 2 \), et \( c = 5 \).

Calculons \(\alpha\) :

\[
\alpha = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \times 1} = -1
\]

Calculons ensuite \(\beta = f(\alpha)\) :

\[
\beta = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 5 = 1 - 2 + 5 = 4
\]

L'expression canonique de \( f(x) \) est donc :

\[
f(x) = (x + 1)^2 + 4
\]

### 2. Étude des variations

Pour étudier les variations de la fonction, calculons sa dérivée première :

\[
f'(x) = \frac{d}{dx} (x^2 + 2x + 5) = 2x + 2
\]

Cherchons les points critiques en résolvant \( f'(x) = 0 \) :

\[
2x + 2 = 0 \implies x = -1
\]

La dérivée change de signe autour de \( x = -1 \). Pour déterminer les variations, examinons le signe de \( f'(x) \) de part et d'autre de ce point :

- Si \( x < -1 \), alors \( f'(x) = 2x + 2 < 0 \) : la fonction est décroissante.
- Si \( x > -1 \), alors \( f'(x) = 2x + 2 > 0 \) : la fonction est croissante.

Le point \( x = -1 \) est donc un minimum local.

### 3. Valeur du minimum

La valeur minimale de \( f(x) \) sur \([-5; 5]\) est atteinte en \( x = -1 \) et vaut :

\[
f(-1) = 4
\]

### 4. Calcul des valeurs aux bornes de l'intervalle

Calculons \( f(x) \) aux bornes de l'intervalle \([-5; 5]\) :

- \( f(-5) = (-5)^2 + 2(-5) + 5 = 25 - 10 + 5 = 20 \)
- \( f(5) = (5)^2 + 2(5) + 5 = 25 + 10 + 5 = 40 \)

### 5. Conclusion

- La fonction est décroissante sur \([-5, -1]\) et croissante sur \([-1, 5]\).
- Le minimum de la fonction sur \([-5; 5]\) est 4 en \( x = -1 \).
- La valeur de \( f(x) \) aux bornes de l'intervalle est \( f(-5) = 20 \) et \( f(5) = 40 \).

Souhaitez-vous plus de détails ou avez-vous des questions ?

#### Questions supplémentaires :
1. Comment trouver les points d'intersection avec les axes ?
2. Quelles sont les propriétés de la parabole associée à cette fonction ?
3. Comment représenter graphiquement cette fonction ?
4. Quelle est la signification de la forme canonique d'une fonction quadratique ?
5. Comment utiliser la dérivée seconde pour confirmer la nature du point critique ?

**Astuce :** Pour déterminer la convexité d'une fonction quadratique, regardez le signe de son coefficient de \( x^2 \).

Apprenez à étudier la fonction quadratique f(x) = x² + 2x + 5 sur l'intervalle [-5; 5] à travers une solution étape par étape. Ce problème couvre les concepts de la forme canonique, la dérivation, et les variations des fonctions quadratiques. Convient aux élèves de 10e à 12e année.

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