要解决这个问题，我们需要通过已知信息来找到直角三角形 $\triangle ABC$ 的边长，然后计算它的周长。

首先，重述题目中的已知条件：

1. $\angle A = 90^\circ$
2. $BE = 1$
3. $D$ 为 $BC$ 的中点
4. $E$ 和 $F$ 分别为 $AB$ 和 $AC$ 上的点
5. $BF$ 与 $DE$ 交于点 $G$
6. $\angle FGD = 45^\circ$
7. $DE = \sqrt{10}$
8. $BF = \sqrt{2} DE$

我们需要计算 $\triangle ABC$ 的周长。

首先，计算 $BF$： $BF = \sqrt{2} \times DE = \sqrt{2} \times \sqrt{10} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

接下来，考虑直角三角形 $\triangle ABC$，设 $AB = a$ 和 $AC = b$，则 $BC = c$。由于 $D$ 是 $BC$ 的中点，因此 $BD = DC = \frac{c}{2}$。

由于 $E$ 和 $F$ 分别在 $AB$ 和 $AC$ 上，我们设： $BE = 1$

可以假设 $AB = BE = 1$。因此，$a = 1$。

对于点 $F$ 在 $AC$ 上的情形，我们需要找到 $b$。因为 $E$ 是 $AB$ 的点，且 $BE = 1$，意味着 $E$ 实际上是 $B$ 本身。考虑到 $\angle BAC = 90^\circ$，这意味着 $F$ 实际上在 $AC$ 上且与 $A$ 重合。

最后一步是计算 $c$，即 $BC$： $BC = c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + b^2}$

为了找到 $b$，我们回到 $DE = \sqrt{10}$ 的情况。考虑到 $DE$ 是一个斜边，因此 $D$ 作为中点：

$DE = \sqrt{b^2 + \left(\frac{c}{2}\right)^2} = \sqrt{10}$

即： $b^2 + \left(\frac{\sqrt{1 + b^2}}{2}\right)^2 = 10$ $b^2 + \frac{1 + b^2}{4} = 10$ $4b^2 + 1 + b^2 = 40$ $5b^2 = 39$ $b^2 = \frac{39}{5}$ $b = \sqrt{\frac{39}{5}} = \sqrt{7.8}$

最后，计算 $c$： $c = \sqrt{1^2 + \left(\sqrt{7.8}\right)^2} = \sqrt{1 + 7.8} = \sqrt{8.8}$

所以，$\triangle ABC$ 的周长为： $\text{周长} = AB + AC + BC = 1 + \sqrt{7.8} + \sqrt{8.8}$

你可以进一步计算这些平方根的近似值： $\text{周长} \approx 1 + 2.792 + 2.97 = 6.762$

这样我们得到了 $\triangle ABC$ 的周长约为 6.762。

请问你是否需要更多详细信息或有其他问题？

你可以问的五个问题：

1. 如何求解直角三角形的边长？
2. 在已知中点的情况下如何应用中点公式？
3. 如何简化根号下的平方和？
4. 如何处理带有平方根的方程？
5. 三角形周长的基本计算方法是什么？

一个小贴士：在解几何问题时，画图并标记已知信息可以帮助更好地理解和解决问题。