Encuentre la ecuación del plano que pasa por los puntos P 5 (1, 2, 1), Q 5 (22, 3, 21) y R 5
(1, 0, 4).

Para encontrar la ecuación del plano que pasa por tres puntos dados \( P(1, 2, 1) \), \( Q(22, 3, 21) \), y \( R(1, 0, 4) \), seguiremos los siguientes pasos:

### Paso 1: Encuentra dos vectores en el plano

Calculamos dos vectores que pertenezcan al plano, usando los puntos dados. Por ejemplo, los vectores \( \overrightarrow{PQ} \) y \( \overrightarrow{PR} \).

- \( \overrightarrow{PQ} = Q - P = (22 - 1, 3 - 2, -21 - 1) = (21, 1, -22) \)
- \( \overrightarrow{PR} = R - P = (1 - 1, 0 - 2, 4 - 1) = (0, -2, 3) \)

### Paso 2: Calcula el producto cruzado de los dos vectores

El producto cruzado de \( \overrightarrow{PQ} \) y \( \overrightarrow{PR} \) nos da un vector normal al plano, que usaremos para definir su ecuación. Calculamos el producto cruzado:

\[
\overrightarrow{n} = \overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
21 & 1 & -22 \\
0 & -2 & 3
\end{vmatrix}
\]

El producto cruzado se calcula como:

\[
\overrightarrow{n} = \mathbf{i} \left( (1)(3) - (-22)(-2) \right) - \mathbf{j} \left( (21)(3) - (-22)(0) \right) + \mathbf{k} \left( (21)(-2) - (1)(0) \right)
\]

\[
\overrightarrow{n} = \mathbf{i} \left( 3 - 44 \right) - \mathbf{j} \left( 63 - 0 \right) + \mathbf{k} \left( -42 - 0 \right)
\]

\[
\overrightarrow{n} = \mathbf{i} (-41) - \mathbf{j} (63) + \mathbf{k} (-42)
\]

El vector normal al plano es \( \overrightarrow{n} = (-41, -63, -42) \).

### Paso 3: Ecuación del plano

La ecuación general de un plano es:

\[
Ax + By + Cz + D = 0
\]

Donde \( (A, B, C) \) es el vector normal \( \overrightarrow{n} \). En nuestro caso, la ecuación será:

\[
-41(x - 1) - 63(y - 2) - 42(z - 1) = 0
\]

Expandiendo esto:

\[
-41x + 41 - 63y + 126 - 42z + 42 = 0
\]

Simplificando:

\[
-41x - 63y - 42z + 209 = 0
\]

Esta es la ecuación del plano que pasa por los puntos \( P \), \( Q \) y \( R \):

\[
41x + 63y + 42z = 209
\]

### ¿Te gustaría ver más detalles sobre este proceso o tienes alguna pregunta? 

Aquí hay algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se interpreta geométricamente el vector normal en la ecuación de un plano?
2. ¿Por qué necesitamos solo dos vectores para determinar el plano en 3D?
3. ¿Qué representa el producto cruzado en este contexto?
4. ¿Cómo se calcula el producto cruzado en términos geométricos?
5. ¿Qué cambios sucederían si modificamos uno de los puntos en la ecuación?

**Tip:** El vector normal \( \overrightarrow{n} \) es perpendicular a cualquier vector en el plano. Esto lo convierte en un factor clave para definir un plano.

Encuentre la ecuación del plano que pasa por los puntos P 5 (1, 2, 1), Q 5 (22, 3, 21) y R 5 (1, 0, 4).

Discover how to find the equation of a plane passing through the points P(1, 2, 1), Q(22, 3, -21), and R(1, 0, 4). This step-by-step guide covers vector subtraction, cross products, and the equation of a plane, suitable for students in Grades 10-12.

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