Determina para cada eclipse los vértices los focos y los puntos de cortes con el eje normal luego traza su gráfica x^2/9+y^2/16=1

Dado el problema, vamos a analizar la ecuación de la elipse:

\[
\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1
\]

Esta es una ecuación en su forma estándar de una elipse centrada en el origen \((0,0)\), con los ejes alineados con los ejes \(x\) y \(y\). La forma general de la ecuación de una elipse es:

\[
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
\]

donde:

- \(a^2\) es el denominador de la variable \(x\), y
- \(b^2\) es el denominador de la variable \(y\).

### 1. Identificación de los parámetros de la elipse

Comparando la ecuación dada con la forma estándar:

- \(a^2 = 9 \Rightarrow a = 3\),
- \(b^2 = 16 \Rightarrow b = 4\).

Esto indica que el **semieje mayor** está alineado con el eje \(y\), y el **semieje menor** con el eje \(x\).

### 2. Vértices de la elipse

Los vértices se encuentran a una distancia \(b\) del centro (0, 0) a lo largo del eje mayor (en el eje \(y\)) y a una distancia \(a\) a lo largo del eje menor (en el eje \(x\)).

- Los **vértices a lo largo del eje mayor (eje \(y\))** están en los puntos \((0, b)\) y \((0, -b)\), es decir:
  \[
  (0, 4) \quad \text{y} \quad (0, -4).
  \]

- Los **vértices a lo largo del eje menor (eje \(x\))** están en los puntos \((a, 0)\) y \((-a, 0)\), es decir:
  \[
  (3, 0) \quad \text{y} \quad (-3, 0).
  \]

### 3. Focos de la elipse

Los focos se encuentran a una distancia \(c\) del centro, donde \(c\) se calcula como:

\[
c = \sqrt{b^2 - a^2} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}.
\]

Los focos están a una distancia \(c\) del origen a lo largo del eje mayor (el eje \(y\)):

- Los **focos** están en los puntos:
  \[
  (0, \sqrt{7}) \quad \text{y} \quad (0, -\sqrt{7}),
  \]
  lo que aproximadamente es:
  \[
  (0, 2.65) \quad \text{y} \quad (0, -2.65).
  \]

### 4. Puntos de corte con los ejes

- **Puntos de corte con el eje \(x\)**: Como el semieje menor está sobre el eje \(x\), los puntos de corte con el eje \(x\) son:
  \[
  (3, 0) \quad \text{y} \quad (-3, 0).
  \]
  
- **Puntos de corte con el eje \(y\)**: El semieje mayor está sobre el eje \(y\), por lo que los puntos de corte con el eje \(y\) son:
  \[
  (0, 4) \quad \text{y} \quad (0, -4).
  \]

### 5. Gráfica de la elipse

Esta es una elipse con un semieje mayor de longitud 4 a lo largo del eje \(y\) y un semieje menor de longitud 3 a lo largo del eje \(x\). La gráfica tiene la siguiente forma:

- El centro está en el origen (0, 0),
- Los vértices están en los puntos \((0, 4)\), \((0, -4)\), \((3, 0)\), y \((-3, 0)\),
- Los focos están en \((0, \pm\sqrt{7})\).

¿Te gustaría que dibujara la gráfica de la elipse?

---

### Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo afecta el valor de \(a\) y \(b\) a la forma de la elipse?
2. ¿Cómo se derivan los focos a partir de la ecuación de la elipse?
3. ¿Qué sucede si \(a = b\) en la ecuación de una elipse?
4. ¿Cómo se calculan los ejes de una elipse que no está centrada en el origen?
5. ¿Cómo cambia la gráfica si la elipse está rotada?

### Tip:
Para recordar fácilmente los focos de una elipse, piensa que están siempre a lo largo del eje mayor, a una distancia de \( \sqrt{b^2 - a^2} \).

Learn how to find the vertices, foci, and intercepts of the ellipse given by the equation x^2/9 + y^2/16 = 1. This detailed solution covers the key properties of ellipses in analytic geometry, including focus calculation using the Pythagorean theorem and graph plotting. Suitable for students in Grades 10-12.

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