Dado el problema, vamos a analizar la ecuación de la elipse:

$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$

Esta es una ecuación en su forma estándar de una elipse centrada en el origen $(0,0)$, con los ejes alineados con los ejes $x$ y $y$. La forma general de la ecuación de una elipse es:

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

donde:

• $a^2$ es el denominador de la variable $x$, y
• $b^2$ es el denominador de la variable $y$.

1. Identificación de los parámetros de la elipse

Comparando la ecuación dada con la forma estándar:

• $a^2 = 9 \Rightarrow a = 3$,
• $b^2 = 16 \Rightarrow b = 4$.

Esto indica que el semieje mayor está alineado con el eje $y$, y el semieje menor con el eje $x$.

2. Vértices de la elipse

Los vértices se encuentran a una distancia $b$ del centro (0, 0) a lo largo del eje mayor (en el eje $y$) y a una distancia $a$ a lo largo del eje menor (en el eje $x$).

• Los vértices a lo largo del eje mayor (eje $y$) están en los puntos $(0, b)$ y $(0, -b)$, es decir: $(0, 4) \quad \text{y} \quad (0, -4).$

• Los vértices a lo largo del eje menor (eje $x$) están en los puntos $(a, 0)$ y $(-a, 0)$, es decir: $(3, 0) \quad \text{y} \quad (-3, 0).$

3. Focos de la elipse

Los focos se encuentran a una distancia $c$ del centro, donde $c$ se calcula como:

$c = \sqrt{b^2 - a^2} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}.$

Los focos están a una distancia $c$ del origen a lo largo del eje mayor (el eje $y$):

• Los focos están en los puntos: $(0, \sqrt{7}) \quad \text{y} \quad (0, -\sqrt{7}),$ lo que aproximadamente es: $(0, 2.65) \quad \text{y} \quad (0, -2.65).$

4. Puntos de corte con los ejes

• Puntos de corte con el eje $x$: Como el semieje menor está sobre el eje $x$, los puntos de corte con el eje $x$ son: $(3, 0) \quad \text{y} \quad (-3, 0).$

• Puntos de corte con el eje $y$: El semieje mayor está sobre el eje $y$, por lo que los puntos de corte con el eje $y$ son: $(0, 4) \quad \text{y} \quad (0, -4).$

5. Gráfica de la elipse

Esta es una elipse con un semieje mayor de longitud 4 a lo largo del eje $y$ y un semieje menor de longitud 3 a lo largo del eje $x$. La gráfica tiene la siguiente forma:

• El centro está en el origen (0, 0),
• Los vértices están en los puntos $(0, 4)$, $(0, -4)$, $(3, 0)$, y $(-3, 0)$,
• Los focos están en $(0, \pm\sqrt{7})$.

¿Te gustaría que dibujara la gráfica de la elipse?

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Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo afecta el valor de $a$ y $b$ a la forma de la elipse?
2. ¿Cómo se derivan los focos a partir de la ecuación de la elipse?
3. ¿Qué sucede si $a = b$ en la ecuación de una elipse?
4. ¿Cómo se calculan los ejes de una elipse que no está centrada en el origen?
5. ¿Cómo cambia la gráfica si la elipse está rotada?

Tip:

Para recordar fácilmente los focos de una elipse, piensa que están siempre a lo largo del eje mayor, a una distancia de $\sqrt{b^2 - a^2}$.