Determina para cada eclipse los vértices los focos y los puntos de cortes con el eje normal luego traza su gráfica Ax^2/9+y^2/16=1

Dado el problema con la ecuación de la elipse:

\[
A x^2 / 9 + \frac{y^2}{16} = 1
\]

Primero, vamos a reescribir la ecuación en una forma estándar de una elipse para identificar fácilmente sus parámetros:

### Paso 1: Reescribir la ecuación

Dividimos ambos lados de la ecuación por \( A \):

\[
\frac{x^2}{9A} + \frac{y^2}{16} = 1
\]

Esta es la forma estándar de la ecuación de una elipse, que se escribe generalmente como:

\[
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
\]

Donde:
- \( a^2 = 9A \) → \( a = \sqrt{9A} = 3\sqrt{A} \),
- \( b^2 = 16 \) → \( b = \sqrt{16} = 4 \).

### Paso 2: Identificar los vértices

En una elipse, los vértices están a una distancia de \( b \) del centro, sobre el eje vertical (ya que \( b > a \)).

- Los vértices estarán en los puntos: \( (0, 4) \) y \( (0, -4) \).

### Paso 3: Determinar los focos

Los focos están a una distancia \( c \) del centro, donde \( c \) se obtiene usando la relación:

\[
c = \sqrt{b^2 - a^2} = \sqrt{16 - 9A} = \sqrt{16 - 9A}
\]

Esto da los focos en los puntos \( (0, c) \) y \( (0, -c) \).

### Paso 4: Puntos de corte con el eje normal

Los puntos de corte con el eje normal (el eje y) ocurren donde \( x = 0 \). En ese caso, resolvemos:

\[
\frac{y^2}{16} = 1 \implies y^2 = 16 \implies y = \pm 4
\]

Por lo tanto, los puntos de corte son \( (0, 4) \) y \( (0, -4) \).

### Paso 5: Trazar la gráfica

La gráfica será una elipse vertical con centro en el origen, vértices en \( (0, 4) \) y \( (0, -4) \), y los focos dependerán del valor de \( A \). Aquí tienes las características clave para graficar:

1. Centro: \( (0, 0) \)
2. Vértices: \( (0, 4) \), \( (0, -4) \)
3. Focos: \( (0, \pm \sqrt{16 - 9A}) \)
4. Puntos de corte: \( (0, 4) \), \( (0, -4) \)

¿Te gustaría que graficara la elipse? ¿Tienes alguna duda sobre los pasos anteriores?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Qué cambia en la elipse si el valor de \( A \) aumenta o disminuye?
2. ¿Cómo se calculan los focos de una elipse en general?
3. ¿Qué tipo de gráfica obtendríamos si \( A = 0 \)?
4. ¿Cuál es la diferencia entre una elipse horizontal y una vertical?
5. ¿Cómo afectan los parámetros \( a \) y \( b \) a la forma de la elipse?

### Tip:
En una elipse, si \( b > a \), es vertical; si \( a > b \), es horizontal.

Explore how to determine the vertices, foci, and points of intersection with the axes for the ellipse given by Ax^2/9 + y^2/16 = 1. This guide provides detailed explanations of key geometric concepts like the standard form of ellipses and focuses on how to graph vertical ellipses. Suitable for students in Grades 10-12.

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