Dado el problema con la ecuación de la elipse:

$A x^2 / 9 + \frac{y^2}{16} = 1$

Primero, vamos a reescribir la ecuación en una forma estándar de una elipse para identificar fácilmente sus parámetros:

Paso 1: Reescribir la ecuación

Dividimos ambos lados de la ecuación por $A$:

$\frac{x^2}{9A} + \frac{y^2}{16} = 1$

Esta es la forma estándar de la ecuación de una elipse, que se escribe generalmente como:

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

Donde:

• $a^2 = 9A$ → $a = \sqrt{9A} = 3\sqrt{A}$,
• $b^2 = 16$ → $b = \sqrt{16} = 4$.

Paso 2: Identificar los vértices

En una elipse, los vértices están a una distancia de $b$ del centro, sobre el eje vertical (ya que $b > a$).

• Los vértices estarán en los puntos: $(0, 4)$ y $(0, -4)$.

Paso 3: Determinar los focos

Los focos están a una distancia $c$ del centro, donde $c$ se obtiene usando la relación:

$c = \sqrt{b^2 - a^2} = \sqrt{16 - 9A} = \sqrt{16 - 9A}$

Esto da los focos en los puntos $(0, c)$ y $(0, -c)$.

Paso 4: Puntos de corte con el eje normal

Los puntos de corte con el eje normal (el eje y) ocurren donde $x = 0$. En ese caso, resolvemos:

$\frac{y^2}{16} = 1 \implies y^2 = 16 \implies y = \pm 4$

Por lo tanto, los puntos de corte son $(0, 4)$ y $(0, -4)$.

Paso 5: Trazar la gráfica

La gráfica será una elipse vertical con centro en el origen, vértices en $(0, 4)$ y $(0, -4)$, y los focos dependerán del valor de $A$. Aquí tienes las características clave para graficar:

1. Centro: $(0, 0)$
2. Vértices: $(0, 4)$, $(0, -4)$
3. Focos: $(0, \pm \sqrt{16 - 9A})$
4. Puntos de corte: $(0, 4)$, $(0, -4)$

¿Te gustaría que graficara la elipse? ¿Tienes alguna duda sobre los pasos anteriores?

Preguntas relacionadas:

1. ¿Qué cambia en la elipse si el valor de $A$ aumenta o disminuye?
2. ¿Cómo se calculan los focos de una elipse en general?
3. ¿Qué tipo de gráfica obtendríamos si $A = 0$?
4. ¿Cuál es la diferencia entre una elipse horizontal y una vertical?
5. ¿Cómo afectan los parámetros $a$ y $b$ a la forma de la elipse?

Tip:

En una elipse, si $b > a$, es vertical; si $a > b$, es horizontal.