Sebuah elips dengan titik pusat G(-1,-4) melalui titik (-1,-1) dan titik K (4,-4). Tentukan Koordinat titik fokus & termasuk elips apakah?

Diketahui sebuah elips dengan titik pusat \( G(-1, -4) \), melalui titik \( (-1, -1) \), dan titik \( K(4, -4) \).

Mari kita selesaikan soal ini langkah demi langkah:

### 1. Menentukan Jenis Elips
Dari informasi yang diberikan, kita bisa lihat bahwa elips melalui titik \( K(4, -4) \) yang memiliki \( x \)-koordinat berbeda tetapi \( y \)-koordinat yang sama dengan titik pusat. Ini menunjukkan bahwa sumbu utama elips adalah horizontal, karena jarak antara titik pusat dan titik \( K \) hanya mengubah \( x \), bukan \( y \).

Jadi, bentuk umum persamaan elips dengan sumbu utama horizontal adalah:
\[
\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1
\]
di mana \( (h,k) \) adalah titik pusat, \( a \) adalah jarak dari pusat ke titik pada sumbu utama, dan \( b \) adalah jarak dari pusat ke titik pada sumbu minor.

### 2. Menentukan Nilai \( a \)
Titik pusat \( G(-1, -4) \) dan titik \( K(4, -4) \) berada pada sumbu utama. Jarak antara keduanya memberikan \( a \), yang merupakan setengah dari panjang sumbu utama:
\[
a = |4 - (-1)| = 5
\]

### 3. Menentukan Nilai \( b \)
Elips juga melalui titik \( (-1, -1) \). Masukkan titik ini ke persamaan elips untuk menemukan nilai \( b \).

Substitusi titik \( (-1, -1) \) ke dalam persamaan elips:
\[
\frac{((-1) - (-1))^2}{5^2} + \frac{((-1) - (-4))^2}{b^2} = 1
\]
\[
\frac{0^2}{25} + \frac{3^2}{b^2} = 1
\]
\[
\frac{9}{b^2} = 1
\]
\[
b^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad b = 3
\]

### 4. Menentukan Koordinat Titik Fokus
Titik fokus elips terletak pada sumbu utama, dan jaraknya dari pusat adalah \( c \), di mana \( c \) dihitung dengan rumus:
\[
c^2 = a^2 - b^2
\]
\[
c^2 = 25 - 9 = 16 \quad \Rightarrow \quad c = 4
\]
Titik fokus terletak pada \( (h \pm c, k) \), sehingga koordinat titik fokus adalah:
\[
(-1 + 4, -4) = (3, -4) \quad \text{dan} \quad (-1 - 4, -4) = (-5, -4)
\]

### Kesimpulan:
- **Koordinat titik fokus**: \( (3, -4) \) dan \( (-5, -4) \)
- **Jenis elips**: Elips dengan sumbu utama horizontal.

Apakah ada yang ingin dijelaskan lebih lanjut atau soal lain yang ingin diselesaikan?

Berikut 5 pertanyaan terkait:
1. Bagaimana jika elips memiliki sumbu utama vertikal?
2. Bagaimana cara menghitung eksentrisitas dari elips ini?
3. Apa hubungan antara jarak fokus dan bentuk elips?
4. Jika panjang sumbu minor berubah, bagaimana mempengaruhi bentuk elips?
5. Bagaimana menentukan panjang sumbu utama dari persamaan elips?

**Tip**: Dalam elips, jarak antara fokus dan pusat menentukan eksentrisitas yang mengukur keovalan bentuk elips.

This solution explains how to determine the coordinates of the foci and the type of an ellipse with center G(-1,-4) that passes through points (-1,-1) and (4,-4). Using the standard equation of an ellipse, learn how to find the values of 'a', 'b', and the focal distance 'c' with step-by-step calculations. Suitable for Grades 10-12 students studying conic sections.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation