这个说法不完全正确。即使 $A$ 和 $B$ 都是正定矩阵，它们的乘积 $AB$ 的特征值不一定都是正的。具体原因如下：

正定矩阵的性质

1. 正定矩阵的定义：矩阵 $A$ 是正定矩阵，意味着对于任意非零向量 $x$，都有 $x^T A x > 0$。
2. 特征值性质：正定矩阵的所有特征值都是正实数。

乘积矩阵 $AB$ 的特征值

假设 $A$ 和 $B$ 都是 $n \times n$ 的正定矩阵。虽然 $A$ 和 $B$ 都是正定矩阵，但这并不保证它们的乘积 $AB$ 也是正定矩阵。

对于两个正定矩阵 $A$ 和 $B$，以下情况可能发生：

1. 特征值可能为负：如果 $A$ 和 $B$ 不可交换（即 $AB \neq BA$），那么 $AB$ 的特征值可能是负的，即 $AB$ 可能不是正定矩阵。例如，即使 $A$ 和 $B$ 是正定的，$AB$ 也不一定正定。
2. 对称性问题：如果 $A$ 和 $B$ 都是对称正定矩阵，且 $A$ 和 $B$ 可交换（即 $AB = BA$），那么 $AB$ 仍然是对称矩阵，并且可能具有正的特征值。但正定性仍然不是必然的。

总结

• $A$ 和 $B$ 都是正定矩阵，并不保证它们的乘积 $AB$ 的特征值都是正的。
• 特殊情况下，如果 $A$ 和 $B$ 可交换且都是对称矩阵，可能会有更好的性质，但一般情况下乘积矩阵的特征值无法直接确定。

希望这对你有所帮助！你有需要进一步了解的地方吗？或者要详细推导吗？

相关问题

1. 如果 $A$ 和 $B$ 都是半正定矩阵，那么 $AB$ 的特征值有什么性质？
2. 如何证明对称矩阵的正定性与其特征值的正性之间的关系？
3. 既然正定矩阵的乘积不一定正定，那么是否有其他矩阵乘积保持正定的条件？
4. 正定矩阵的特征值与其迹（trace）之间有什么关系？
5. 如何利用矩阵的特征值分解来判断其正定性？

提示

当处理矩阵乘积时，矩阵是否对称和是否可交换对结果有很大影响，尤其是它们的特征值和正定性。