如果 A 和 B 都是正定矩阵，那么它们的乘积 AB 的特征值都是正的。

这个说法不完全正确。即使 \( A \) 和 \( B \) 都是正定矩阵，它们的乘积 \( AB \) 的特征值不一定都是正的。具体原因如下：

### 正定矩阵的性质
1. **正定矩阵的定义**：矩阵 \( A \) 是正定矩阵，意味着对于任意非零向量 \( x \)，都有 \( x^T A x > 0 \)。
2. **特征值性质**：正定矩阵的所有特征值都是正实数。

### 乘积矩阵 \( AB \) 的特征值
假设 \( A \) 和 \( B \) 都是 \( n \times n \) 的正定矩阵。虽然 \( A \) 和 \( B \) 都是正定矩阵，但这并不保证它们的乘积 \( AB \) 也是正定矩阵。

对于两个正定矩阵 \( A \) 和 \( B \)，以下情况可能发生：

1. **特征值可能为负**：如果 \( A \) 和 \( B \) 不可交换（即 \( AB \neq BA \)），那么 \( AB \) 的特征值可能是负的，即 \( AB \) 可能不是正定矩阵。例如，即使 \( A \) 和 \( B \) 是正定的，\( AB \) 也不一定正定。
2. **对称性问题**：如果 \( A \) 和 \( B \) 都是对称正定矩阵，且 \( A \) 和 \( B \) 可交换（即 \( AB = BA \)），那么 \( AB \) 仍然是对称矩阵，并且可能具有正的特征值。但正定性仍然不是必然的。

### 总结
- \( A \) 和 \( B \) 都是正定矩阵，并不保证它们的乘积 \( AB \) 的特征值都是正的。
- 特殊情况下，如果 \( A \) 和 \( B \) 可交换且都是对称矩阵，可能会有更好的性质，但一般情况下乘积矩阵的特征值无法直接确定。

希望这对你有所帮助！你有需要进一步了解的地方吗？或者要详细推导吗？

### 相关问题
1. 如果 \( A \) 和 \( B \) 都是半正定矩阵，那么 \( AB \) 的特征值有什么性质？
2. 如何证明对称矩阵的正定性与其特征值的正性之间的关系？
3. 既然正定矩阵的乘积不一定正定，那么是否有其他矩阵乘积保持正定的条件？
4. 正定矩阵的特征值与其迹（trace）之间有什么关系？
5. 如何利用矩阵的特征值分解来判断其正定性？

### 提示
当处理矩阵乘积时，矩阵是否对称和是否可交换对结果有很大影响，尤其是它们的特征值和正定性。

Explore whether the product of two positive definite matrices A and B results in a matrix with positive eigenvalues. Learn key linear algebra concepts such as matrix multiplication, positive definite matrices, and eigenvalues. Understand when AB retains positivity, with a discussion on matrix symmetry and commutativity.

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