Пусть
A
диагональная матрица, а
B
произвольная матрица соответствующего размера, тогда их произведение коммутативно
A
B
=
B
A

Давайте проанализируем утверждение. Пусть \( A \) — диагональная матрица размера \( n \times n \), а \( B \) — произвольная матрица того же размера \( n \times n \). Утверждается, что их произведение коммутативно, то есть:

\[
AB = BA
\]

### 1. Свойства диагональной матрицы:
- Матрица \( A \) диагональная, то есть она имеет вид:
  \[
  A = \begin{bmatrix}
  a_1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\
  0 & a_2 & 0 & \dots & 0 \\
  0 & 0 & a_3 & \dots & 0 \\
  \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
  0 & 0 & 0 & \dots & a_n
  \end{bmatrix},
  \]
  где \( a_i \) — элементы диагонали.

### 2. Произведение матриц \( AB \) и \( BA \):
Если \( B \) — произвольная матрица, то её элементы обозначим как:
\[
B = \begin{bmatrix}
b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1n} \\
b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
b_{n1} & b_{n2} & \dots & b_{nn}
\end{bmatrix}.
\]

1. Для произведения \( AB \), элементы результирующей матрицы вычисляются по правилу:
   \[
   (AB)_{ij} = \sum_{k=1}^n A_{ik} B_{kj}.
   \]
   Однако, так как \( A \) диагональная, все элементы \( A_{ik} \) для \( i \neq k \) равны нулю. Это упрощает формулу до:
   \[
   (AB)_{ij} = A_{ii} B_{ij} = a_i b_{ij}.
   \]

2. Аналогично, для \( BA \):
   \[
   (BA)_{ij} = \sum_{k=1}^n B_{ik} A_{kj}.
   \]
   Так как \( A \) диагональна, формула упрощается до:
   \[
   (BA)_{ij} = B_{ij} A_{jj} = b_{ij} a_j.
   \]

### 3. Сравнение \( AB \) и \( BA \):
Для элементов матриц \( AB \) и \( BA \):
\[
(AB)_{ij} = a_i b_{ij}, \quad (BA)_{ij} = b_{ij} a_j.
\]

Эти элементы равны друг другу только в случае, если \( a_i = a_j \) для всех \( i \neq j \), то есть \( A \) пропорциональна единичной матрице. В общем случае \( AB \neq BA \), так как порядок умножения влияет на результат, если \( B \) произвольная.

### Ответ:
Произведение диагональной матрицы \( A \) и произвольной матрицы \( B \) **не коммутативно** в общем случае.

---

Хотите подробности по конкретным случаям или дополнительные примеры?  
Вот 5 вопросов для расширения темы:  
1. Что произойдёт, если матрица \( B \) также диагональна?  
2. Как проверить коммутативность для конкретных матриц на примере?  
3. Какие типы матриц всегда дают коммутативное умножение?  
4. Как связана коммутативность с собственными векторами матриц?  
5. Какой геометрический смысл имеют диагональные матрицы?  

**Совет**: При изучении свойств матриц полезно проверять результаты на численных примерах, чтобы лучше понять абстрактные утверждения.

Пусть A диагональная матрица, а B произвольная матрица соответствующего размера, тогда их произведение коммутативно AB = BA

Explore whether the product of a diagonal matrix A and an arbitrary matrix B is commutative. This solution covers matrix multiplication properties, diagonal matrices, and conditions under which AB equals BA. Includes clear explanations and key formulas for linear algebra students.

Math Problem Statement

Пусть A диагональная матрица, а B произвольная матрица соответствующего размера, тогда их произведение коммутативно A B

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation