Baik, mari kita bahas tentang persamaan karakteristik, nilai eigen, dan vektor eigen dari matriks simetrik. Kita akan membuat contoh soal lengkap dengan pembahasan.

Contoh Soal:

Diberikan matriks simetrik berikut: $A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$

1. Tentukan persamaan karakteristik dari matriks $A$.
2. Temukan nilai eigen dari matriks $A$.
3. Temukan vektor eigen yang sesuai untuk setiap nilai eigen.

---

Pembahasan:

1. Menentukan Persamaan Karakteristik

Persamaan karakteristik suatu matriks $A$ diperoleh dari determinan $\det(A - \lambda I) = 0$, di mana $I$ adalah matriks identitas dan $\lambda$ adalah nilai eigen yang dicari.

Langkah-langkahnya:

1. Bentuk matriks $A - \lambda I$: $A - \lambda I = \begin{bmatrix} 4 - \lambda & 1 \\ 1 & 3 - \lambda \end{bmatrix}$

2. Tentukan determinan dari matriks tersebut: $\det(A - \lambda I) = (4 - \lambda)(3 - \lambda) - (1)(1)$ $= 12 - 7\lambda + \lambda^2 - 1$ $= \lambda^2 - 7\lambda + 11$

Jadi, persamaan karakteristiknya adalah: $\lambda^2 - 7\lambda + 11 = 0$

2. Menemukan Nilai Eigen

Sekarang kita selesaikan persamaan karakteristik untuk mendapatkan nilai eigen.

$\lambda^2 - 7\lambda + 11 = 0$

Gunakan rumus kuadrat untuk menyelesaikan: $\lambda = \frac{7 \pm \sqrt{(7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$ $\lambda = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 44}}{2}$ $\lambda = \frac{7 \pm \sqrt{5}}{2}$

Jadi, nilai eigen dari matriks $A$ adalah: $\lambda_1 = \frac{7 + \sqrt{5}}{2} \quad \text{dan} \quad \lambda_2 = \frac{7 - \sqrt{5}}{2}$

3. Menemukan Vektor Eigen

Selanjutnya, kita mencari vektor eigen untuk setiap nilai eigen.

1. Untuk $\lambda_1 = \frac{7 + \sqrt{5}}{2}$:

   • Substitusi $\lambda_1$ ke persamaan $(A - \lambda I)\mathbf{x} = 0$ untuk mencari vektor eigen yang sesuai.
   • Misalkan vektor eigen untuk nilai ini adalah $\mathbf{x}_1 = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$, dan selesaikan sistem persamaan yang dihasilkan.

2. Ulangi langkah yang sama untuk $\lambda_2 = \frac{7 - \sqrt{5}}{2}$ untuk mendapatkan vektor eigen kedua, $\mathbf{x}_2$.

Vektor-vektor eigen ini akan memberikan basis untuk ruang eigennya.

Kesimpulan:

1. Persamaan karakteristik: $\lambda^2 - 7\lambda + 11 = 0$.
2. Nilai eigen: $\lambda_1 = \frac{7 + \sqrt{5}}{2}$ dan $\lambda_2 = \frac{7 - \sqrt{5}}{2}$.
3. Vektor eigen: Ditemukan dengan menyelesaikan $(A - \lambda I)\mathbf{x} = 0$ untuk setiap $\lambda$.

---

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lain? Berikut beberapa soal lanjutan untuk memperdalam pemahaman:

1. Berikan contoh matriks simetrik $3 \times 3$ dan tentukan nilai eigennya.
2. Bagaimana cara menentukan apakah suatu matriks simetrik hanya memiliki nilai eigen real?
3. Apakah setiap matriks simetrik pasti memiliki basis vektor eigen yang ortogonal?
4. Jelaskan hubungan antara nilai eigen dan determinan suatu matriks.
5. Bagaimana menentukan panjang (norma) dari vektor eigen yang sudah ditemukan?

Tip: Untuk matriks simetrik, nilai eigen selalu real, sehingga mereka dapat digunakan dalam berbagai aplikasi yang memerlukan hasil real.