Реши задачата с максимална точност
Нека е даден дуополен пазар. Нека функцията на цената е P( x, y ) = 6100 - xy, където x е количеството стока на пазара за производител едно, y е количеството стока на пазара за производител две. Нека функциите на разходите на двете фирми е c(x) = x^2 и C(x) = 100x, където x е количеството произведена стока. Намерете равновесното количество и равновесната цена. Намерете производствата на двете фирми при което се реализира това равновесие.

Задачата е типична за анализ на **дуополен пазар**, като се използва моделът на Курно за намиране на равновесие в условия на конкуренция. В този случай трябва да определим равновесното количество и цена, както и колко произвеждат двете фирми при това равновесие.

### Стъпки за решаване:

1. **Функция на общите приходи (Total Revenue)**:
    \[
    P(x, y) = 6100 - xy
    \]
   Това е функцията за цената в зависимост от количествата \(x\) (фирма 1) и \(y\) (фирма 2). Общите приходи за фирма 1 ще бъдат:
    \[
    TR_1(x, y) = P(x, y) \cdot x = (6100 - xy) \cdot x = 6100x - x^2y
    \]
   По същия начин общите приходи за фирма 2 са:
    \[
    TR_2(x, y) = P(x, y) \cdot y = (6100 - xy) \cdot y = 6100y - xy^2
    \]

2. **Функции на разходите (Cost Functions)**:
    За фирма 1 разходната функция е:
    \[
    c_1(x) = x^2
    \]
    А за фирма 2 разходната функция е:
    \[
    c_2(y) = 100y
    \]

3. **Функции на печалбите (Profit Functions)**:
    Печалбата на фирма 1 е разликата между приходите и разходите:
    \[
    \pi_1(x, y) = TR_1(x, y) - c_1(x) = 6100x - x^2y - x^2
    \]
    А печалбата на фирма 2:
    \[
    \pi_2(x, y) = TR_2(x, y) - c_2(y) = 6100y - xy^2 - 100y
    \]

4. **Максимизация на печалбата**:
    За да намерим равновесните количества, трябва да максимизираме печалбите на двете фирми чрез първи производни по съответно \(x\) и \(y\).

    - **Първа производна на печалбата на фирма 1 по \(x\)**:
    \[
    \frac{\partial \pi_1}{\partial x} = 6100 - 2xy - 2x = 0
    \]
    Оттук:
    \[
    6100 = 2x(y + 1) \quad \Rightarrow \quad x = \frac{6100}{2(y + 1)} = \frac{3050}{y + 1}
    \]
    
    - **Първа производна на печалбата на фирма 2 по \(y\)**:
    \[
    \frac{\partial \pi_2}{\partial y} = 6100 - 2xy - 100 = 0
    \]
    Оттук:
    \[
    6100 = 2xy + 100 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{6000}{2x} = \frac{3000}{x}
    \]

5. **Системата от уравнения**:
    Имаме две уравнения:
    \[
    x = \frac{3050}{y + 1}
    \]
    и
    \[
    y = \frac{3000}{x}
    \]
    Сега решаваме системата чрез заместване.

6. **Намиране на равновесните количества**:
    Заместваме израза за \(y\) във функцията за \(x\):
    \[
    x = \frac{3050}{\frac{3000}{x} + 1}
    \]
    Умножаваме двете страни по \(\frac{3000}{x} + 1\):
    \[
    x\left(\frac{3000}{x} + 1\right) = 3050
    \]
    което се опростява до:
    \[
    3000 + x = 3050 \quad \Rightarrow \quad x = 50
    \]
    
    След като намерихме \(x = 50\), заместваме го във функцията за \(y\):
    \[
    y = \frac{3000}{50} = 60
    \]

7. **Намиране на равновесната цена**:
    Заместваме \(x = 50\) и \(y = 60\) във функцията за цената:
    \[
    P(x, y) = 6100 - xy = 6100 - (50 \cdot 60) = 6100 - 3000 = 3100
    \]

### Отговори:
- Равновесното количество за фирма 1 е \(x = 50\).
- Равновесното количество за фирма 2 е \(y = 60\).
- Равновесната цена е \(P = 3100\).

Имате ли нужда от допълнителни разяснения?

### Въпроси за разширяване:
1. Какво би се случило с равновесието, ако функцията за разходите на фирма 2 се промени на \(c_2(y) = y^2\)?
2. Как би изглеждало равновесието, ако функциите на разходите за двете фирми бяха идентични?
3. Какво е влиянието на количеството произведена стока от фирма 1 върху общите приходи на фирма 2?
4. Как би се променила цената, ако се появи трети конкурент на пазара?
5. Как се различава този дуополен модел от модел на пълна конкуренция?

### Съвет:
Когато решавате задачи с дуопол или олигопол, винаги е полезно да разгледате как малки промени в стратегията на едната фирма се отразяват на печалбата на другата, като използвате производни за оптимизация.

Реши задачата с максимална точност Нека е даден дуополен пазар. Нека функцията на цената е P( x, y ) = 6100 - xy, където x е количеството стока на пазара за производител едно, y е количеството стока на пазара за производител две. Нека функциите на разходите на двете фирми е c(x) = x^2 и C(x) = 100x, където x е количеството произведена стока. Намерете равновесното количество и равновесната цена. Намерете производствата на двете фирми при което се реализира това равновесие.

Solve a duopoly market problem using the Cournot competition model. This step-by-step solution covers key concepts such as revenue and cost functions, profit maximization, and finding equilibrium price and quantities for two firms. Suitable for undergraduate students in Economics or Mathematics.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation