Math Problem Statement
contoh soal kalkulus lanjut Menghitung integral lipat dua suatu fungsi atas daerah S dengan mengubahnya ke dalam integral berulang menggunakan integral lipat dalam koordinat kutub
Solution
Berikut adalah contoh soal kalkulus lanjut untuk menghitung integral lipat dua suatu fungsi atas daerah , dengan menggunakan integral lipat dalam koordinat kutub:
Soal:
Hitung integral lipat dua dari fungsi di atas daerah , yang berupa lingkaran dengan pusat di dan jari-jari .
Langkah Penyelesaian:
-
Deskripsi Daerah dalam Koordinat Kartesius dan Kutub: Daerah adalah lingkaran dengan persamaan . Dalam koordinat kutub: Di sini, berada dalam interval , dan berada dalam interval .
-
Mengubah Integral ke Koordinat Kutub: Integral lipat dua dalam koordinat Kartesius: dapat ditulis dalam koordinat kutub sebagai: di mana berasal dari , dan tambahan berasal dari determinan Jacobian dalam transformasi kutub.
-
Batas-Batas Integral:
- Untuk : ,
- Untuk : .
-
Integral Berulang: Tuliskan integral berulang:
-
Hitung Integral:
- Hitung bagian :
- Hitung bagian :
-
Hasil Akhir: Nilai integral lipat dua adalah:
Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan?
Pertanyaan Terkait:
- Bagaimana menentukan batas integral untuk bentuk daerah yang lebih kompleks?
- Apa itu Jacobian, dan mengapa kita perlu mengalikannya dalam transformasi koordinat?
- Bagaimana mengaplikasikan metode ini pada daerah non-lingkaran, seperti elips?
- Bagaimana mengubah integral lipat dua ke koordinat lain, seperti silinder atau bola?
- Bagaimana pendekatan numerik dilakukan jika integral tidak memiliki solusi analitik?
Tip:
Saat mengubah ke koordinat kutub, selalu periksa batas daerah dengan menggambar grafik untuk memahami wilayah integrasi dengan jelas.
Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Calculus
Double Integrals
Polar Coordinates
Jacobian Transformation
Formulas
x = r cos θ, y = r sin θ
x^2 + y^2 = r^2
Double integral in polar coordinates: ∬_S f(x, y) dx dy = ∬_S f(r cos θ, r sin θ) r dr dθ
Theorems
Transformation of coordinates (Jacobian determinant)
Suitable Grade Level
Undergraduate - First Year
Related Recommendation
Calculus Example: Double Integral Using Polar Coordinates
Calculate Double Integrals Using Polar Coordinates
Convert Double Integral to Polar Coordinates and Evaluate: Step-by-Step Solution
Convert a Double Integral in xz-plane to Polar Coordinates
Evaluate Double Integral Over Annular Region Between Circles Using Polar Coordinates