Berikut adalah contoh soal kalkulus lanjut untuk menghitung integral lipat dua suatu fungsi atas daerah $S$, dengan menggunakan integral lipat dalam koordinat kutub:

---

Soal:

Hitung integral lipat dua dari fungsi $f(x, y) = x^2 + y^2$ di atas daerah $S$, yang berupa lingkaran dengan pusat di $(0, 0)$ dan jari-jari $2$.

---

Langkah Penyelesaian:

1. Deskripsi Daerah dalam Koordinat Kartesius dan Kutub: Daerah $S$ adalah lingkaran dengan persamaan $x^2 + y^2 \leq 4$. Dalam koordinat kutub: $x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta, \quad x^2 + y^2 = r^2.$ Di sini, $r$ berada dalam interval $[0, 2]$, dan $\theta$ berada dalam interval $[0, 2\pi]$.

2. Mengubah Integral ke Koordinat Kutub: Integral lipat dua dalam koordinat Kartesius: $\iint_S (x^2 + y^2) \, dx \, dy$ dapat ditulis dalam koordinat kutub sebagai: $\iint_S r^2 \, r \, dr \, d\theta,$ di mana $r^2$ berasal dari $x^2 + y^2$, dan tambahan $r$ berasal dari determinan Jacobian dalam transformasi kutub.

3. Batas-Batas Integral:

   • Untuk $r$: $0 \leq r \leq 2$,
   • Untuk $\theta$: $0 \leq \theta \leq 2\pi$.

4. Integral Berulang: Tuliskan integral berulang: $\int_0^{2\pi} \int_0^2 r^3 \, dr \, d\theta.$

5. Hitung Integral:

   • Hitung bagian $\int_0^2 r^3 \, dr$: $\int_0^2 r^3 \, dr = \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^2 = \frac{16}{4} - 0 = 4.$
   • Hitung bagian $\int_0^{2\pi} 4 \, d\theta$: $\int_0^{2\pi} 4 \, d\theta = 4 \cdot \left[ \theta \right]_0^{2\pi} = 4 \cdot 2\pi = 8\pi.$

6. Hasil Akhir: Nilai integral lipat dua adalah: $\iint_S (x^2 + y^2) \, dx \, dy = 8\pi.$

---

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan?

Pertanyaan Terkait:

1. Bagaimana menentukan batas integral untuk bentuk daerah yang lebih kompleks?
2. Apa itu Jacobian, dan mengapa kita perlu mengalikannya dalam transformasi koordinat?
3. Bagaimana mengaplikasikan metode ini pada daerah non-lingkaran, seperti elips?
4. Bagaimana mengubah integral lipat dua ke koordinat lain, seperti silinder atau bola?
5. Bagaimana pendekatan numerik dilakukan jika integral tidak memiliki solusi analitik?

Tip:

Saat mengubah ke koordinat kutub, selalu periksa batas daerah dengan menggambar grafik untuk memahami wilayah integrasi dengan jelas.